6.2.2排列数 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.2.2 排列数 一 二 三 学习目标 理解排列、排列数的概念 能正确写出一些简单问题的所有排列（列举、树状图、表格）能够求出排列数 应用排列与排列数的知识解决简单的实际问题 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 2.排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 复习回顾 新课导入 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 根据分步乘法计数原理, 不同选法的种数为. 问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为 引入：通过上节课中的问题1和问题2，我们学习了排列的定义，并利用分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的表达和计算方法会显得繁琐冗长．简化一直是数学的追求，能进一步实现对排列问题的简化运算吗？ 新知探究：排列数的概念 问题1 我们现在要创设一个符号简化表示“从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ）个元素，并按照一定的顺序排列成一列的所有不同排列的个数”，这个符号需考虑几个要素？ 三个要素： 被选取范围元素个数： n 取出元素个数：m ( m ≤ n )， 顺序 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素个数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 概念生成 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 追问2 “从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列”与“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数”是同一回事吗？ 问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ， 可记作： 问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ， 可记作： 追问1 你能用排列数符号表示上节课中的问题1和问题2吗？ 排列数与排列的区别： 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列的具体排法，也就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列所有排列的个数，它是一个数. 概念解读 我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少? 又是多少？进而归纳 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 同理，排列数 可以按依次填3个空位得到： 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 新知探究：排列数计算公式 探究 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 概念生成 排列数公式： 问题2 观察排列数公式的结构，回答下列问题： （1）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？ （2）比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？ （3）若m=n时， 的表达式有什么特点？ 公式中是m个连续正整数的连乘积，从n开始每项逐次减1 m≤n, 排列数公式 的连乘形式 最小因数是(n－m＋1)而不是(n－m). 例如： 概念生成 全排列数： 1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数为: 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 例3 计算： 解：根据排列数公式，可得： 典例解析 追问 观察例3的运算结果，你有什么发现？能推广到一般情况吗？ 概念提升 追问 你能否对它进行证明呢？ 证明： 因此，排列数公式还可以写成： 排列数公式 的阶乘形式 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 巩固练习 解： 1. 计算： 课本P20 巩固练习 2. 求证： 证明： 3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有