4.6 指数、对数函数模型及其应用-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 6　 指数、对数函数模型及其应用 1. 指数、对数函数模型 (1) 指数函数模型:y = bax + c(a,b,c 为常数,b ≠ 0,a > 0,a ≠ 1) . (2) 对数函数模型:y = mlogax + n(m,n,a 为常数,a > 0,a ≠ 1,m ≠ 0) . 2. 指数、对数函数模型的性质比较 性质 函数模型 y = bax + c(b > 0,a > 1) y = mlogax + n(m > 0,a > 1) 在(0, + ∞ ) 上的单调性 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 图象的变化 随 x的增大逐渐表现为与 y轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 题型一:指数函数模型的实际应用 “绿水青山就是金山银山”,随着我国经济的快速发展,国家加大了对环境污染的治 理力度.某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察,发现该厂产生的废气经过过滤 后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(千克 / 升) 与时间 t(时) 间的关系为P = P0e -kt,设在前 5 个小时消除了 10% 的污染物. (1)10 小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少 50% 需要花费多少时间? (精确到 1 小时,ln 2 ≈ 0. 69,ln 0. 9 ≈ - 0. 11) (1) 由题意可知 P0e -5k = 0. 9P0,则 e -5k = 0. 9,即 e -10k = 0. 81, 16 所以 t = 10 时,P = 0. 81P0 . 故 10 小时后还剩 81% 的污染物. (2) 令 e - kt = 0. 5 可得(e -5k) t 5 = 0. 5,即0. 9 t 5 = 0. 5,则 t 5 = log0. 90. 5, 所以 t = 5log0. 90. 5 = 5ln 0. 5 ln 0. 9 = - 5ln 2 ln 0. 9 ≈ 32. 故污染物减少 50% 需要花费 32 小时. 题型二:对数函数模型的实际应用 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵. 研究表明,鲑鱼的游速可表示为函 数v = 1 2 log3 P 100 (单位:m / s),其中 P 表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1) 当一条鲑鱼的耗氧量是 2 700 个单位时,它的游速是多少? (2) 若甲鲑鱼的游速 v1 是乙鲑鱼游速 v2 的 3 2 倍,求甲鲑鱼耗氧量的单位数P1 与乙鲑鱼耗 氧量的单位数 P2 之间的关系式. (1) 当 P = 2 700 时,v = 1 2 log3 P 100 = 1 2 log327 = 1. 5, 故此时鲑鱼的游速是 1. 5 m / s. (2) 由 v1 = 3 2 v2,得 1 2 log3 P1 100 = 3 2 × 1 2 log3 P2 100 , 则 2log3 P1 100 = 3log3 P2 100 ,即 log3 P1 100( ) 2 = log3 P2 100( ) 3 , 所以 P1 100( ) 2 = P2 100( ) 3 , 所以 P1 与 P2 之间的关系式是 100P21 = P32 . 1. 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(1 个分裂为 2 个),经过 3 小时后,这种细菌可 由 1 个分裂成 (　 　 ) A. 511 个 B. 512 个 C. 1 023 个 D. 1 024 个 2. 通过科学研究发现:地震时释放的能量 E(单位:焦耳) 与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4. 8 +1. 5M. 已知 2011 年甲地发生里氏 9 级地震,2019 年乙地发生里氏 7 级地震,若 甲、乙两地地震释放的能量分别为 E1,E2,则 E1 和 E2 的关系为 (　 　 ) A. E1 = 32E2 B. E1 = 64E2 C. E1 = 1 000E2 D. E1 = 1 024E2 3. 某食品的保鲜时间 y(单位:时) 与储藏温度 x(单位:℃ ) 满足函数关系 y = ekx+b(e =2. 718… 为自然对数的底数,k,b为常数) . 若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时,在22 ℃ 的保鲜时 26 间是 48 小时,则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 (　 　 ) A. 16 小时 B. 20 小时 C. 24 小时 D. 21 小时 4. 某生物兴趣小组自 2010 年起对一湖泊进行监测研究,发现其中某种生物的总数 y(单位: 亿) 与经过的时间 x(单位:年) 之间的函数关系与函数模型 y = alog2(x + 1) + b 基本拟合. 经过 1 年,y为 3 亿,经过 3