4.5对数函数-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 5　 对 数 函 数 1. 对数函数的概念 形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数. 对数函数的定义域为(0, + ∞ ),值 域为( - ∞ , + ∞ ) . 特别地,以 10 为底的对数函数 y = lg x叫做常用对数函数,以 e 为底的对数函数 y = ln x叫做 自然对数函数. 75 2. 对数函数的图象与性质 函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图象 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 题型一:对数函数的概念 下列函数是对数函数的是 (　 　 ) A. y = log3(x + 1) B. y = loga2x(a > 0,且 a ≠ 1) C. y = ln x D. y = logax2(a > 0,且 a ≠ 1) 形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数叫做对数函数. 选项 A,y = log3(x + 1) 不符合对数函数的定义,不是对数函数; 选项 B,y = loga2x(a > 0,且 a ≠ 1) 不符合对数函数的定义,不是对数函数; 选项 C,y = ln x 的底数 a = e,符合对数函数的定义,是对数函数; 选项 D,y = logax2(a > 0,且 a ≠ 1) 不符合对数函数的定义,不是对数函数. C 题型二:对数函数的图象 已知函数 f(x) = loga(x + 2),若其图象过点(6,3),则 f(2) 的值为 (　 　 ) A. - 2 B. 2 C. 1 2 D. - 1 2 由点(6,3) 在函数 f(x) = loga(x + 2) 的图象上,得 3 = loga(6 + 2) = loga8,即 a3 = 8,解得 a = 2, 85 ∴ f(x) = log2(x + 2), ∴ f(2) = log2(2 + 2) = 2. B 当 a > 1 时,在同一坐标系内,函数 y = a -x 与 y = logax 的图象是 (　 　 ) A. B. C. D. 由 a > 1 得函数 y = logax 在(0, + ∞ ) 上是增函数,故排除 C,D. 又 y = a -x = 1 a( ) x ,0 < 1 a < 1,则函数 y = a -x 在 R 上是减函数,故排除 B. A 题型三:对数函数性质的应用 比较大小: (1)log0. 990. 97 和 log0. 990. 98;(2)log1. 01π 和 log1. 01e. (1) 由 0 < 0. 99 < 1,得 y = log0. 99x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. 又 0. 97 < 0. 98,则 log0. 990. 97 > log0. 990. 98. (2) 由 1. 01 > 1,得 y = log1. 01x 在(0, + ∞ ) 上是增函数. 又 π > e,则 log1. 01π > log1. 01e. 题型四:对数函数的综合应用 已知函数 f(x) = ln(x2 - ax + 4) . (1) 若函数 f(x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2) 当 a = 4 时,解不等式 f(ex) ≥ x. (1) 由题意知 x2 - ax + 4 > 0 的解集为 R, ∴ 方程 x2 - ax + 4 = 0 的判别式 Δ = a2 - 16 < 0,解得 - 4 < a < 4. (2) 当 a = 4 时,f(x) = ln(x2 - 4x + 4),f(ex) = ln[(ex) 2 - 4ex + 4] . 由 f(ex) ≥ x 得(ex) 2 - 4ex + 4 ≥ ex,即(ex) 2 - 5ex + 4 ≥ 0. 令 ex = t,则 t2 - 5t + 4 ≥ 0,解得 t ≥ 4 或 t ≤ 1, 故 x ≥ 2ln 2 或 x ≤ 0. 综上,不等式的解集为{x | x ≤ 0 或 x ≥ 2ln 2} . 95 1. 下列函数中,是对数函数的有 (　 　 ) ①y =log 2 3 x2;②y = log3(x - 1);③y = log(x+1) x;④y = logπx. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 函数 y =loga(x - 1) - 2 的图象必过点