4.4 对数-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 4　 对 　 　 数 1. 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN = b,其 中 a 叫做底数,N 叫做真数. 当 a > 0,且 a ≠ 1 时,ab = N⇔b = logaN. 2. 两种特殊的对数 以 10 为底的对数叫做常用对数,log10N 可简记为 lg N. 以无理数 e = 2. 718 28… 为底的对数叫做自然对数,logeN 可记为 ln N. 3. 对数的基本性质 (1)1 的对数等于零,即 loga1 = 0; (2) 底数的对数等于 1,即 logaa = 1; (3) 零和负数没有对数,即当 N ≤ 0 时,logaN 没有意义; (4)alogaN = N(a > 0,且 a ≠ 1,N > 0) . 45 4. 积、商、幂的对数 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么: (1)loga(M·N) = logaM + logaN; (2)loga M N = logaM - logaN; (3)logaMn = nlogaM; (4)loga n M = 1 n logaM. 5. 换底公式 logbN = logaN logab = lg N lg b (a > 0 且 a ≠ 1,b > 0 且 b ≠ 1,N > 0) . 6. 利用计算器求对数值 一般的函数型计算器都设有专门的按键来进行对数的计算. 如 CASIOfx - 82ES PLUS 型 计算器,利用 ln 键计算自然对数,利用 log 键计算常用对数. 利用 log■ 键计算一般底的 对数. 题型一:利用对数公式化简、求值 设 2a = 5b = m,且 1 a + 1 b = 2,求 m 的值. 由等式 2a =m,5b =m(m > 0) 两边取对数得 a = log2m,b = log5m,则 1 a = logm2, 1 b = logm5, 所以 1 a + 1 b = logm2 + logm5 = logm10 = 2,解得 m = 10 . 计算:(1)(3 -1·32) 2 + lg 2·lg 2 500 + 2(lg 5) 2 + 92+ log93; (2) 1 8( ) - 23 ·2log 1 2 2 + 4log23·log89·log316. (1) 原式= 32 + 2lg 2·(1 + lg 5) + 2(lg 5) 2 + 92·9log93 = 9 + 2[lg 2 + lg 2·lg 5 + (lg 5) 2] + 81 × 3 = 9 + 2[lg 2 + lg 5(lg 2 + lg 5)] + 243 = 9 + 2(lg 2 + lg 5) + 243 = 254. 55 (2) 原式= (2 -3) - 23 ·2lg 2 lg 1 2 + 22log23·lg 9 lg 8 ·lg 16 lg 3 = 22· 2· 1 2 lg 2 - lg 2 + 2log29·2lg 3 3lg 2 ·4lg 2 lg 3 = - 4 + 9 × 8 3 = 20. 题型二:利用对数公式证明 已知 log53 = a,5b = 4,证明:log2512 = 1 2 (a + b) . 由 5b = 4 得 b = log54, ∴ 1 2 (a + b) = 1 2 (log53 + log54) = 1 2 log512. 又 log2512 = log512 log525 = 1 2 log512, ∴ log2512 = 1 2 (a + b) . 题型三:利用计算器求对数值 计算下列各式的值(精确到 0. 000 1) . (1)lg 0. 2;(2)ln 1. 5;(3)log35. 首先要设置计算器的计算状态,然后分别使用 log 键、 ln 键、 log■ 键进行计算. (1)lg 0. 2 ≈- 0. 699 0. (2)ln 1. 5 ≈ 0. 405 5. (3)log35 ≈ 1. 465 0. !" 利用 log■ 键进行计算时,输入底数之后,需要按键 ▷ ,将光标移到真数的位置,再 输入真数. 1. log3264 的值为 (　 　 ) A. 1 2 B. 2 C. 5 6 D. 6 5 2. 若 log2[log3(log4x)] = 0,则 x = (　 　 ) A. 4 B. 64　 C. 128 D. 256 3. 若 log32 = x,则 3x + 9x 的