4.3 指数函数-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 3　 指 数 函 数 1. 指数函数的概念 函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 是指数函数的底数. 2. 指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 15 续表 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1; 当 x < 0 时, y > 1 当 x > 0 时,y > 1; 当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 题型一:指数函数的图象 如图,二次函数 y = ax2 + bx 与指数函数 y = ( a b ) x 的图象只可能为 (　 　 ) A. B. C. D. 根据指数函数 y = a b( ) x 的定义可知 a,b 同号且不相等. 易得二次函数 y = ax2 + bx 图象的对称轴为直线 x = - b 2a , - b 2a < 0,可排除 B 与 D. 由二次函数 y = ax2 + bx 的图象过坐标原点,可知 C 正确. C 题型二:指数函数单调性的应用 已知 a = 0. 20. 3,b = 0. 30. 2,c = 10 3( ) -0. 1 ,则 a,b,c 的大小关系为 (　 　 ) A. c > b > a B. c > a > b C. b > a > c D. a > b > c ∵ 0. 20. 3 < 0. 30. 3 < 0. 30. 2 < 0. 30. 1 = ( 3 10 ) 0. 1 = (10 3 ) -0. 1, ∴ c > b > a. A 若不等式 2x 2+1 ≤ ( 1 4 ) x-2 的解集是函数 y = 2x 的定义域,则函数 y = 2x 的值域是 (　 　 ) A. [ 1 8 ,2) B. [ 1 8 ,2]　 C. ( - ∞ , 1 8 ]　 D. [2, + ∞ ) 25 由 2x 2+1 ≤ ( 1 4 ) x-2 得 2x 2+1 ≤ 2 -2x+4,即 x2 + 1 ≤- 2x + 4,解得 - 3 ≤ x ≤ 1, ∴ 函数 y = 2x 的定义域为[ - 3,1] . 又函数 y = 2x 在 R 上单调递增,当 x = - 3 时,y = 1 8 ,当 x = 1 时,y = 2, ∴ 所求函数的值域为[ 1 8 ,2] . B 题型三:指数函数的综合应用 已知函数 f(x) = ax+1 - 3(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象经过点(1,6) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 求使 f(x) ≥ 0 成立的 x 的取值范围. (1)∵ 函数 f(x) = ax+1 - 3(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象经过点(1,6), ∴ a1+1 - 3 = 6,解得 a = 3(负值舍去), ∴ 函数 f(x) = 3x+1 - 3. (2) 由 f(x) ≥ 0,得 3x+1 - 3 ≥ 0,即 3x+1 ≥ 3, ∴ x + 1 ≥ 1,得 x ≥ 0, ∴ 使 f(x) ≥ 0 成立的 x 的取值范围为[0, + ∞ ) . 1. 下列各函数中,是指数函数的是 (　 　 ) A. y = ( - 3) x B. y = - 3x C. y = 3x-1 D. y = 1 3( ) x 2. 函数 y = ax-1 + 1(a > 0,a ≠ 1) 的图象必经过点 (　 　 ) A. (0,1) B. (1,2) C. (1,1) D. (2,1) 3. 已知 f(x) = ax(a > 0,a ≠ 1),且 f(2) > f(3),那么实数 a 的取值范围为 (　 　 ) A. (0,1) B. (1,2] C. (2,3] D. (3, + ∞ ) 4. 函数 y = ax 在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 3,则 a 等于 (　 　 ) A. 1 2 B. 2 C. 4 D. 1 4 5. 函数 f(x) = 1 3x + 1 + a 是奇函数,则实数 a 的值是 (　 　 ) A. 0 B. 1 2 C. - 1 2 D. 1 6. 已知 a = 0. 3 ,b = 20. 3,c = 0. 30. 2,则 a,b,c 三者的大小关系是 (　 　 ) A. b > c > a B. b > a > c C. a > b > c D. c > b > a 35 7. 已知 - 1 < x < 0,则 0.