4.2 幂函数-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 2　 幂 　 函 　 数 1. 幂函数的定义 一般地,形如 y = xα(α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中底数 x是自变量,底数的系数为 1,指 数 α 为常数. 2. 幂函数的图象与性质 (1) 幂函数的图象 ① 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在 第二、三象限内,要看函数的奇偶性. ② 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内. ③ 如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (2) 幂函数的性质 ① 所有幂函数在(0, + ∞ ) 上都有定义,并且图象都经过点(1,1) . ② 当 α > 0 时,幂函数的图象经过原点,并且在区间[0, + ∞ ) 上是增函数. 特别地,当 α > 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 < α < 1 时,幂函数的图象上凸. ③ 当α < 0时,幂函数在区间(0, + ∞ ) 上是减函数.在第一象限内,当 x从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 + ∞ 时,图象在 x 轴上方无限逼近 x 轴正半轴. ④ 当 α = 0 时,函数 y = x0 的图象是直线 y = 1 去掉一点(0,1) . 74 3. 常见的 5 种幂函数的图象 4. 常见的 5 种幂函数的性质 解析式 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞ ) R [0, + ∞ ) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在( - ∞ ,0) 上减, 在(0, + ∞ ) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 题型一:幂函数的图象 图中的曲线是幂函数 y = xa 在第一象限的图象,已知 a取 ± 2, ± 1 2 四个值中的一 个,对应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 (　 　 ) A. - 2, - 1 2 , 1 2 ,2 B. 2, 1 2 , - 1 2 , - 2 C. - 1 2 , - 2,2, 1 2 D. 2, 1 2 , - 2, - 1 2 由曲线 C1,C2 表示的幂函数为增函数,C3,C4 表示的幂函数为减函数,可排除 A, C. 取 x = 2,则 x - 12 = 2 2 ,x -2 = 1 4 ,由 2 2 > 1 4 ,得 C3,C4 对应的 a 值分别为 - 1 2 , - 2,排除 D. 故选 B. B 84 题型二:幂函数单调性的判断和应用 已知 a =0. 32,b = 20. 3,c =1. 90. 3,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a 因为 y = x0. 3 在(0, + ∞ ) 上是增函数, 所以 20. 3 > 1. 90. 3 > 1. 又 a =0. 32 = 0. 09, 所以 b > c > a. B 讨论幂函数 y = x -3 的奇偶性和单调性. 易知函数 y = f(x) = x -3 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),关于原点对称. 又 f( - x) = ( - x) -3 = - 1 x3 = - x -3 = - f(x), ∴ y = x -3 为奇函数. 任取 x1,x2 ∈ (0, + ∞ ),且 x1 < x2, 则 f(x1) - f(x2) = x -3 1 - x -3 2 = 1 x31 - 1 x32 = x32 - x31 x31x32 = (x2 - x1)(x21 + x1x2 + x22) x31x32 = (x2 - x1) x1 + x2 2( ) 2 + 3x22 4 é ë ê ê ù û ú ú x31x32 > 0, ∴ f(x1) > f(x2), ∴ y = x -3 在(0, + ∞ ) 上为减函数. ∵ y = x -3 是奇函数, ∴ 函数 y = x -3 在( - ∞ ,0) 上的单调性与其在(0, + ∞ ) 上的单调性相同, ∴ 函数 y = x -3 在( - ∞ ,0) 上是减函数,在(0, + ∞ ) 上也是减函数. 题型三:幂函数图象和性质的综合应用 已知幂函数 f(x) = x 3 2 +k- 1 2 k 2 (k ∈ Z) . (1) 若 f(x) 的图象经过点(2,4),求 k 的值; (2) 若 f(x) 为偶函数,且在(0, + ∞ ) 上是增函数,求 f(x) 的解析式; (3) 若 f(x) 在(0, + ∞ ) 上是减