4.1 实数指数幂-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 1　 实数指数幂 1. 根式 (1)n 次方根的概念 一般地,如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗),那么 b 叫做 a 的 n 次方根. (2)n 次方根的性质 ① 当 n是奇数时,正数的 n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数,这时,a的 n次 方根用符号 n a 表示. ② 当 n是偶数时,正数的 n次方根有两个,这两个数互为相反数,记为 ± n a ,负数没有偶次 方根. ③0 的任何次方根都是 0,记作n 0 = 0. (3)n 次根式的概念 式子 n a (n > 1,n ∈ N∗) 叫做 a 的 n 次根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (4)n 次根式的性质 ①( n a ) n = a. 44 ② 当 n 为奇数时, n an = a. ③ 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2. 分数指数幂 (1) 正数的正分数指数幂的意义是:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (2) 正数的负分数指数幂的意义是:a - mn = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 3. 实数指数幂的运算法则 (1)am·an = am+n; (2)(am) n = amn; (3)(ab) n = an·bn . 其中,m,n ∈ R,a > 0,b > 0. 4. 利用计算器求 n 次根式的值 CASIOfx - 82ES PLUS 型计算器使用 ■ 　 键可以方便地计算出 n 次根式的值. 设置好 计算器状态之后,按照下面的步骤操作:按键 SHIFT → 按键 ■ 　 → 输入根指数 → 按键 ▷ → 输入被开方数 → 按键 = 显示计算结果. 5. 利用计算器求分数指数幂的值 CASIOfx - 82ES PLUS 型计算器,通过 x■ 键来计算分数指数幂. 操作步骤为:设置计算 器为普通计算状态 → 输入底数 → 按键 x■ → 输入指数 → 按键 = 显示计算结果. 题型一:实数指数幂的运算 下列运算一定正确的是 (　 　 ) A. ( - 3a) 3 = - 9a3 B. - a2·a3 = - a6 C. -( - 2a2) 3 = 8a6 D. a2 = a ( - 3a) 3 = - 27a3,故A错误. - a2·a3 = - a5,故B错误. -( - 2a2) 3 = - ( - 8)a2×3 = 8a6,故 C 正确. a2 =| a | ,故 D 错误. C 54 计算下列各式的值. (1)2 3 × 3 1. 5 × 6 12 ; (2) 2 1 4( ) 1 2 -( - 2 022) 0 - 3 3 8( ) - 23 +(1. 5) -2 . (1) 原式 = 2 3 × 3 3 2 × 6 12 = 2 × 3 1 2 × 3 3 × 3 1 2 × 6 4 × 6 3 = 2 × 3 1 2 × 3 1 3 × 2 - 13 × 2 1 3 × 3 1 6 = 21 - 13 + 1 3 × 3 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6. (2) 原式 = 3 2( ) 2 é ë êê ù û úú 1 2 - 1 - 3 2( ) 3 é ë êê ù û úú - 23 + 3 2( ) -2 = 3 2 - 1 - 3 2( ) -2 + 3 2( ) -2 = 1 2 . 题型二:较复杂的指数运算问题 已知 x 1 2 + x - 12 = 3,求x 2 + x -2 - 7 x + x -1 + 3 . 因为 x 1 2 + x - 12 = 3, 所以 x + x - 1 = (x 1 2 + x - 12 ) 2 - 2 = 32 - 2 = 7, 所以 x2 + x - 2 = (x + x - 1) 2 - 2 = 72 - 2 = 47, 所以 x2 + x -2 - 7 x + x -1 + 3 = 47 - 7 7 + 3 = 4. 1. 已知 xy ≠ 0 且 4x2y2 = - 2xy,则有 (　 　 ) A. x > 0,y > 0 B. x < 0,y > 0 C. xy > 0 D. xy < 0 2. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　 　 ) A. - x = ( - x) 1 2 (x ≥ 0) B. 6 x2 = x 1 3 (x ≤ 0) C. x - 34 = 4 1 x( ) 3 (x > 0) D. x 1 3 = - 3 x (x ≠ 0) 3. 若 3x = a,5x = b,则 75x 等于