3.5 函数的实际应用-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 5　 函数的实际应用 建立函数模型解应用题的步骤 (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:用数学方法将得到的结论还原到实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 04 题型一:分段函数模型的实际应用 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对 公司员工进行培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元 培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人 收取培训费 1 000 元;若参加培训的员工人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设 该公司参加培训的员工人数为 x,此次培训的总费用为 y 元. (1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. (1) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y = 400x + 1 000x = 1 400x; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = 400x + [1 000 - 20(x - 30)]·x = - 20x2 + 2 000x. 故 y = 1 400x,0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N, - 20x2 + 2 000x,30 < x ≤ 60,x ∈ N.{ (2) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y ≤ 1 400 × 30 = 42 000,x = 30 时等号成立; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = - 20 x - 50( ) 2 + 50 000 ≤ 50 000,x = 50 时等号成立. 综上,该公司此次培训的总费用最多需要 50 000 元. 题型二:二次函数模型的实际应用 如图,点 A是直线 y = kx上一点,点 P是线段OA上的一 个动点(点 P 不与点 O,A重合),过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为点 B, 以 PB为边长在PB的右侧作正方形PBCD,则点C落在 x轴上,作射 线 AD交 x 轴于点 E. 若 OA = 10,点 A到 x 轴的距离与其到 y 轴的距 离之比是 4 3 ,设 OP = m. (1) 求点 A 的坐标. (2) 请用含 m 的代数式表示 △APD 的面积 S,并求当 m 为何值时,S 有最大(或最小) 值, 最大(或最小) 值是多少? (1) 设 A(a,b),a,b > 0. 过点 A作 AF ⊥ x轴,垂足为点 F,如图. ∵ OA = 10,点 A 到 x 轴的距离与其到 y 轴的距离之比是 4 3 , ∴ cos∠AOF = a OA = 3 5 ,即 a = 3 5 × 10 = 6, 14 sin∠AOF = b OA = 4 5 ,即 b = 4 5 × 10 = 8, ∴ A(6,8) . (2)∵ sin∠AOF = 4 5 ,四边形 PBCD 为正方形, ∴ sin∠APD = sin∠AOF = 4 5 = PB OP = PB m , ∴ PB = PD = 4 5 m. ∵ AP = OA - OP = 10 - m,0 < m < 10, ∴ S = 1 2 AP·PDsin∠APD = 1 2 × 4 5 × (10 - m) × 4 5 m = - 8 25 m2 + 16 5 m = - 8 25 (m - 5)2 + 8,0 < m < 10, ∴ S 有最大值,且当 m = 5 时,Smax = 8. 1. 某市出租车的计价标准是 4 km 以内(含 4 km)10 元, 超过 4 km 且不超过 18 km(含 18 km) 的部分1. 2 元 / km,超过 18 km 的部分 1. 8 元 / km,不计等待时间的费用. (1) 如果某人乘出租车行驶了 10 km,那么他要付多少车费? (2) 试建立车费 y(元) 与行车里程 x(km) 的函数关系式. 24 2. 如图,在平面直角坐标系中,直线AB与 x轴、y轴分别交于A(6,0),B(0,3) 两点,点C为线段 AB 上的一个动点(点 C不与点 A,B重合) . 过点 C作 CD ⊥ x轴于点 D,作 CE ⊥ y轴于点 E, 求四边形 OECD 的最大面积,并求此时点 C 的坐标. 3. 如图是某办公大楼一块墙面的设计图案,这个图案是由四个全等的直角三角形和一个小正方 形拼接而成的一个大正方形.设小正方形的边长为 m,直角三角形较短直角边长为 n,且 n =