3.4 二次函数的图象和性质-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 4　 二次函数的图象和性质 63 1. 二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 2. 二次函数 y = ax2 的图象和性质 (1) 二次函数 y = ax2 的图象是顶点为坐标原点,对称轴为 y 轴的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 的图象与 a 的符号的关系如下: ① 当 a > 0 时 ⇔ 抛物线开口向上 ⇔ 顶点为其最低点; ② 当 a < 0 时 ⇔ 抛物线开口向下 ⇔ 顶点为其最高点. (3) 顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y = ax2(a ≠ 0) . 3. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1) 图象 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. (2) 标准形式 用配方法可将二次函数 y = ax2 + bx + c化成 y = a(x - h) 2 + k 的形式,其中 h = - b 2a ,k = 4ac - b2 4a . (3) 二次函数常见的几种形式 ①y = ax2;②y = ax2 + k;③y = a(x - h) 2;④y = a(x - h) 2 + k;⑤y = ax2 + bx + c. (4) 二次函数图象的顶点、对称轴 ①y = ax2 + bx + c = a x + b 2a( ) 2 + 4ac - b 2 4a ,其顶点坐标是( - b 2a ,4ac - b2 4a ),对称轴是直线 x = - b 2a . ② 运用配方法,将二次函数的解析式化为 y = a(x - h) 2 + k 的形式,得到二次函数图象的 顶点坐标为(h,k),对称轴是直线 x = h. (5) 抛物线 y = ax2 + bx + c 中 a,b,c 的作用 ①a 决定开口方向及开口大小. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b 2a ,故 b = 0 时,对称轴为 y轴; b a > 0(即 a,b同号) 时,对称轴在 y轴左侧; b a < 0(即 a,b异 号) 时,对称轴在 y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴交点的位置. 抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴 有且只有一个交点(0,c),当 c = 0 时,抛物线经过原点;当 c > 0 时,抛物线与 y轴交于正半轴; 当 c < 0 时,抛物线与 y 轴交于负半轴. 73 4. 几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h) 2 y = a(x - h) 2 + k y = ax2 + bx + c 当 a > 0 时,开口向上; 当 a < 0 时,开口向下 x = 0(y 轴) (0,0) x = 0(y 轴) (0,k) x = h (h,0) x = h (h,k) x = - b 2a ( - b 2a ,4ac - b2 4a ) 5. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式 y = ax2 + bx + c 已知图象上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式. (2) 顶点式 y = a(x - h) 2 + k 已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3) 交点式 已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x1,x2,通常选用交点式 y = a(x - x1)(x - x2)(a ≠ 0). 题型一:二次函数图象与性质的应用 对于抛物线 y = (x - 2) 2 - 3,下列结论错误的是 (　 　 ) A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 x = 2 C. 抛物线不经过第三象限 D. 当 x > 3 时,y 随 x 的增大而减小 抛物线 y = (x - 2) 2 - 3 的开口向上,对称轴是直线 x = 2,故 A,B 不符合题意;当 x < 2 时,y随 x的增大而减小,当 x = 0 时,y = 1,则该抛物线不经过第三象限,故C 不符合题意; 当 x > 2 时,y 随 x 的增大而增大,故 D 符合题意. D 题型二:二次函数的综合应用 若函数 f(x) = x2 - 2mx + 1 在[3,4] 上是单调函数,则实数 m 的取值范围为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,3] ∪ [4, + ∞ ) B. [4, + ∞ ) C. [3, + ∞ ) D. ( - ∞ ,3] 易知抛物线 f(x) = x2 - 2mx + 1 的开口向上且对称轴为直线x =