3.3 函数的奇偶性-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 3　 函数的奇偶性 23 1. 对称点的坐标特征 一般地,设点 P(a,b) 为平面内的任意一点,则 ① 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为(a, - b); ② 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为( - a,b); ③ 点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为( - a, - b) . 2. 函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任 意一个 x,都有 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一 个 x,都有 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就叫做 奇函数 定义域特征 关于原点对称 　 　 (2) 奇函数、偶函数的图象特征 ① 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若 一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. ② 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个 函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. (3) 函数的奇偶性 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就说这个函数具有奇偶性. 3. 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 当 b = 0 时是奇函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时是偶函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 4. 奇、偶函数的运算性质 设 f(x),g(x) 的定义域分别是 F,G,且 f(x) ± g(x) ≠ 0,若 F = G,则有以下结论: 33 f(x) g(x) f(x) + g(x) f(x) - g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 5. 奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有 相反的单调性. ② 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值;奇函数在关于原点对称的区间 上的最值互为相反数. 6. 非奇非偶函数 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 题型一:判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) = 1 x - 1 ;　 (2) f(x) = x4 - 2x2;　 (3) f(x) = 2 2x - 1 + 1. (1)∵ f(x) = 1 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1},定义域不关于原点对称, ∴ f(x) = 1 x - 1 为非奇非偶函数. (2)∵ f(x) = x4 - 2x2 的定义域为 R,f( - x) = ( - x) 4 - 2( - x) 2 = x4 - 2x2 = f(x), ∴ f(x) = x4 - 2x2 是偶函数. (3)∵ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 有意义时,2x - 1 ≠ 0,即 x ≠ 0, ∴ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 的定义域关于原点对称. ∵ f( - x) + f(x)= 2 2-x - 1 + 1( ) + 22x - 1 + 1 = 2 1 2x - 1 + 2 2x - 1 + 2 = - 2·2x 2x - 1 + 2 2x - 1 +2 = 2 - 2·2x 2x - 1 + 2 = 2(1 - 2x) 2x - 1 + 2 = - 2 + 2 = 0,即 f( - x) = - f(x), ∴ f(x) 为奇函数. 43 题型二:函数奇偶性的应用 若偶函数 f(x) 在( - ∞ , - 1] 上单调递增,则 (　 　 ) A. f( - 3 2 ) < f( - 1) < f(2) B. f( - 1) < f( - 3 2 ) < f(2)　 C. f(2) < f( - 1) < f( - 3 2 ) D. f(2) < f( - 3 2 ) < f( - 1) 由 f(x) 是偶函数且在( - ∞ , - 1] 上单调递增,得 f(x) 在[1, + ∞ ) 上单调递减, f( - 3 2 ) = f( 3 2 ),f( - 1) = f(1), 又 2 > 3 2 > 1, 所以 f(2) < f( 3 2 ) < f(1),即 f(2) < f( - 3 2 ) < f( - 1) . D 已知奇函数 f(x) 在单调区间[ - 5, - 2] 上有最大值,为 f