2.3 含绝对值的不等式-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 3　 含绝对值的不等式 1. 绝对值的概念 对于任意的实数 a,有 | a | = a(a > 0), 0(a = 0), - a(a < 0) . ì î í ïï ïï 其几何意义是:数轴上表示实数 a 的点到原点的距离. 2. 绝对值不等式 | x | < a 与 | x | > a 的解集 不等式 a > 0 a = 0 a < 0 | x | < a {x | - a < x < a} ⌀ ⌀ | x | > a {x | x > a 或 x < - a} {x | x ≠ 0} R 3. | ax + b | ≤ c(c > 0) 和 | ax + b | ≥ c(c > 0) 型不等式的解法 (1) | ax + b | ≤ c⇔ - c ≤ ax + b ≤ c; (2) | ax + b | ≥ c⇔ax + b ≥ c 或 ax + b ≤- c. 题型:含绝对值不等式的解法 不等式 | x - 4 | > 7 的解集是 . 由原不等式可得 x - 4 > 7 或 x - 4 < - 7,则 x > 11 或 x < - 3, 故原不等式的解集为( - ∞ , - 3) ∪ (11, + ∞ ) . ( - ∞ , - 3) ∪ (11, + ∞ ) 22 设集合 A = {x | | x - a | ≤ 2},B = {x | x2 - 2x - 8 ≥ 0},且 A ∩B = ⌀,求实数 a的 取值范围. ∵ | x - a | ≤ 2, ∴ - 2 ≤ x - a ≤ 2, ∴ a - 2 ≤ x ≤ a + 2, ∴ A = {x | a - 2 ≤ x ≤ a + 2} . ∵ x2 - 2x - 8 ≥ 0, ∴ (x - 4)(x + 2) ≥ 0, ∴ x ≤- 2 或 x ≥ 4, ∴ B = {x | x ≤- 2 或 x ≥ 4} . 又 A ∩ B = ⌀, ∴ a - 2 > - 2 且 a + 2 < 4, ∴ a > 0 且 a < 2,即实数 a 的取值范围是{a | 0 < a < 2} . 1. 不等式 | 1 - 2x | < 1 的解集为 (　 　 ) A. {x | - 1 < x < 0} B. {x | 0 < x < 1} C. {x | x > 1 或 x < 0} D. R 2. 若关于 x 的不等式 | ax - 3 | < 7 的解集为{x | - 5 < x < 2},则 a 的值为 (　 　 ) A. - 4 B. 4 C. - 2 D. 2 3. 不等式 | x - 2 | > 1 的解集是 (　 　 ) A. {x | - 1 < x < 3} B. {x | 1 < x < 3} C. {x | x < - 1 或 x > 3} D. {x | x < 1 或 x > 3} 4. 设集合 A = {x | | x | < 2},B = {x | x2 - 3x < 0},则 A ∪ B = (　 　 ) A. ( - 2,3) B. ( - 2,0) C. (0,2) D. (2,3) 5. 若 a > 2,则关于 x 的不等式 | x - 1 | + a > 2 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 3 - a} B. {x | x > a - 1} C. ∅ D. R 6. 设不等式 | x - 1 2 | < a 的解集为{x | - 1 < x < 2},则 a = . 7. 函数 y = 4 -| x - 3 | 的定义域是 . 8. 已知不等式 | x + b | ≤ c 的解集为{x | - 4 ≤ x ≤ 6},求 b,c 的值. 32 综上,当 0 < a < 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解集是{x | 2 ≤ x ≤ 1 a };当 a > 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解 集是{x | 1 a ≤ x ≤ 2};当 a = 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解集是{x | x = 2} . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. B 2. C 3. D　 【解析】 因为 | x - 2 | > 1,所以 x - 2 < - 1 或 x - 2 > 1,解得 x < 1 或 x > 3,所以不等式 | x - 2 | > 1 的解集是{x | x < 1 或 x > 3} . 4. A　 【解析】 由题意知 A = {x | - 2 < x < 2},B = {x | 0 < x < 3},所以 A ∪ B = ( - 2,3) . 5. D　 6. 3 2 7. {x | - 1 ≤ x ≤ 7} 8. 【解析】∵ | x + b | ≤ c, ∴