2.2 一元二次不等式-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式. 2. 一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠ 0. 3. 一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0 时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式 Δ 的不同情 况,二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. 91 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1 ,x2 } {x0 } ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c ≥ 0 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c < 0 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤ 0 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 　 　 (2) 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: ① 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; ② 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; ③ 根据上表写出一元二次不等式的解集. 题型一:一元二次不等式的解法 解下列一元二次不等式: (1)x2 - x - 12 ≥ 0; (2)9x2 - 4 < 0. (1) 因为一元二次不等式 x2 - x - 12 ≥ 0 的二次项系数 1 > 0,且方程 x2 - x -12 = 0 的解为 x1 = - 3,x2 = 4, 所以一元二次不等式 x2 - x - 12 ≥ 0 的解集为{x | x ≥ 4 或 x ≤- 3} . (2) 将一元二次不等式 9x2 - 4 < 0 变形为 x2 - 2 3( ) 2 < 0. 因为方程 x2 - 2 3( ) 2 = 0 的解为 x = ± 2 3 , 所以一元二次不等式 9x2 - 4 < 0 的解集为{x | - 2 3 < x < 2 3 } . 解不等式 - 3 < 4x - 4x2 ≤ 0. 原不等式等价于 4x - 4x2 ≤ 0, 4x - 4x2 > - 3,{ 即 x ≥ 1 或 x ≤ 0, - 1 2 < x < 3 2 , ì î í ïï ï ∴ - 1 2 < x ≤ 0 或 1 ≤ x < 3 2 , ∴ 不等式的解集为 - 1 2 ,0( ù û úú ∪ 1, 3 2 é ë êê ) . 02 题型二:一元二次不等式的应用 当 m 取何值时,方程 mx2 - (1 - m)x + m = 0(m ∈ R) 有实根? ① 当 m = 0 时,x = 0. ② 当m≠0时,由方程mx2 - (1 - m)x + m = 0对应根的判别式Δ≥0,得(1 - m) 2 - 4m2 ≥ 0,解得- 1 ≤ m ≤ 1 3 且 m ≠ 0. 由 ①② 知,满足要求的 m 的取值范围是 - 1, 1 3 é ë êê ù û úú . 1. 不等式(2 + x)(2 - x) > 0 的解集是 (　 　 ) A. {x | x > 2} B. {x | x < - 2} C. {x | x < - 2 或 x > 2} D. {x | - 2 < x < 2} 2. 不等式 x2 - 4x + 3 > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 1 或 x > 3} B. {x | x < 0 或 x > 4} C. {x | 1 < x < 3} D. {x | 0 < x < 4} 3. “x ≤ 3” 是“x2 - 7x + 12 ≥ 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知不等式 x2 + ax + b ≤ 0 的解集为[2,3],则 a + b = (　 　 ) A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2 5. 若关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为( - 1,2),则关于 x 的不等式 bx2 - ax - c > 0 的解集为 (　 　 ) A. ( - 1,2) B. ( - ∞ , - 1) ∪ (2, + ∞ ) C. ( - ∞ , - 2) ∪