1.4 充要条件-2023版湖南省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 4　 充 要 条 件 1. 命题 概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句叫做真 命题,判断为假的语句叫做假命题 特点 (1) 能判断真假;(2) 陈述句 分类 真命题、假命题 2. 充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 是真命题时,我们就说由 p可推出 q,称 p是 q的充分条件或 q是 p的必要条件, 记作 p⇒q. 3. 充要条件 若 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充分且必要条件, 简称充要条件,记作 p⇔q. 也常说 p 与 q 等价. 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 4. 既不充分也不必要条件 若 p不是 q的充分条件(p⇒/ q),p也不是 q的必要条件(q⇒/ p),则称 p为 q的既不充分也不 必要条件. 21 题型:充分条件、必要条件、充要条件的判定 用“充分条件”“必要条件” 或“充要条件” 填空. (1)“x 是实数” 是“x 是有理数” 的 ; (2)“x > 3” 是“x > 5” 的 ; (3)“四边形是正方形” 是“四边形是矩形” 的 ; (4)“A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的 . (1)∵ x 是有理数必然也是实数,但 x 是实数不一定是有理数, ∴ “x 是实数” 是“x 是有理数” 的必要条件. (2)∵ x > 3 不一定有 x > 5,如 4 > 3,4 < 5,x > 5 必有 x > 3, ∴ “x > 3” 是“x > 5” 的必要条件. (3)∵ 正方形一定是矩形,矩形不一定是正方形, ∴ “四边形是正方形” 是“四边形是矩形” 的充分条件. (4)∵ A ⊆ B⇔A ∩ B = A, ∴ “A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的充要条件. (1) 必要条件 　 (2) 必要条件 　 (3) 充分条件 　 (4) 充要条件 已知集合 A = {x | 2 - a ≤ x ≤ 2 + a},B = {x | 1 < x < 4} . 若 a > 0,且“x ∈ A” 是“x ∈ B” 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 由“x ∈ A” 是“x ∈ B” 的充分不必要条件,得 A 是 B 的真子集. 因为 A = {x | 2 - a ≤ x ≤ 2 + a}(a > 0),B = {x | 1 < x < 4}, 所以 2 - a > 1, 2 + a < 4,{ 解得 0 < a < 1, 所以实数 a 的取值范围是(0,1) . 1. 设 A,B 是集合,则“A ⊆ B” 是“A ∪ B = B” 的 (　 　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “ln(x + 2) < 0” 是“x < 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 31 3. 已知向量 a = (x - 1,2),b = (2,1),则“a ⊥ b” 的充要条件是 (　 　 ) A. x = - 1 2 B. x = - 1 C. x = 5 D. x = 0 4. 已知 x ∈ R,则“0 < x < 3” 是“x2 - 2x - 3 < 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 p:a > b,q:a + c > b + c,则 p 是 q 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知甲:球的半径为 1 cm,乙:球的体积为 4 3 π cm3,则甲是乙的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. “b - a = c - b” 是“a,b,c 成等差数列” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在 △ABC 中,“cos A < cos B” 是“A > B” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. “ab = 0” 是“a2 + b2 = 0” 的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“