第六讲-立体几何体积问题专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

目录 第六讲 体积问题 2 入门测 2 知识清单 4 题型一：直接找高求体积 4 题型二：换底找高 10 题型三：割补法 14 出门测 21 课后作业 23 第六讲 体积问题 入门测 1.如图,正六边形的边长为,为中心,为的中点.现将四边形沿折起到四边形的位置,使得平面平面,如图. （Ⅰ）证明:平面; （Ⅱ）求几何体的体积; （Ⅲ）在直线上是否存在点,使得平面？如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.（平行） 知识清单 几何体 公式 代表量 柱体 柱体的底面面积为，高为 锥体 锥体的底面面积为，高为 题型一：直接找高求体积 方法说明：直接根据题目要求，做出相应底面的高，直接求解 典型例题 1. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，,平面. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，,求四棱锥的体积.A B C D P O 2. 如图,四边形为菱形,,平面,,,为中点．; （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:; （Ⅲ）若为线段上的点,当三棱锥的体积为时,求的值． 3. 如图,四棱锥中,且平面为棱的中点. ; （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:平面平面; （Ⅲ）当四面体的体积最大时,判断直线与直线是否垂直,并说明理由. 题型二：换底找高 方法说明：题目让求某个几何体体积时，很多时候给的顶点所对应面不好找高，这个时候我们可以通过确定新的底面来找高，直到找到能使用的高为止. 1. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,点是对角线与的交点,,,是的中点. （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:平面平面; （Ⅲ）当三棱锥的体积等于时,求的长. 2.. 在四边形中,,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上. （Ⅰ）求证: （Ⅱ）试问当为何值时,平面？证明你的结论; （Ⅲ）求三棱锥的体积. 3. 如图,直三棱柱 的侧棱长为1,,是的中点.. （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:平面; （Ⅲ）求三棱锥的体积. 题型三：割补法 方法说明：在直接求某几何体体积不太好求时，我们可以把这个几何体拆分成为几个不同的几何体进行求解，目的是能找到可以求体积的几何体. 1. 如图，在四棱锥中,底面为菱形，平面，点在棱上. （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点． （Ⅰ）求证：A1D⊥平面ABC； （Ⅱ）求证：EF∥平面BB1C1C； （Ⅲ）写出四棱锥A1-BB1C1C的体积.（只写出结论，不需要说明理由） 4. 已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥（如图）. （Ⅰ）求证：DE⊥平面； （Ⅱ）设平面平面，求证：AB∥l； （Ⅲ）若，，，F为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？ 5. 4. 如图,四边形是正方形,平面平面,. （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求证:平面; （Ⅲ）求三棱锥的体积. 出门测 1. 已知如图，四棱锥中，平面，//，，，分别为线段，的中点. （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明） 课后作业 1. 已知长方形中,,为的中点,将沿折起到,得到四棱锥,如图所示. （Ⅰ）当平面平面时,求四棱锥的体积; 2. 如图,四棱锥中,是以为斜边的等腰直角三角形,, ,,.; （Ⅰ）求证:平面; （Ⅱ）求四棱锥的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第六讲 体积问题 2 入门测 2 知识清单 4 题型一：直接找高求体积 4 题型二：换底找高 10 题型三：割补法 14 出门测 21 课后作业 23 第六讲 体积问题 入门测 1.如图,正六边形的边长为,为中心,为的中点.现将四边形沿折起到四边形的位置,使得平面平面,如图. （Ⅰ）证明:平面; （Ⅱ）求几何体的体积; （Ⅲ）在直线上是否存在点,使得平面？如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.（平行） 33.（Ⅰ）证明:图（1）中 图（2）中, 又面面,面面, 面. 面, 又为的中点,且,又, 四边形为菱形 面. （Ⅱ）图二中,过作,垂足为 为的高, （Ⅲ）过作交的延长线于点 又 四边形为矩形 知识清单 几何体 公式 代表量 柱体 柱体的底面面积为，高为 锥体 锥体的底面面积为，高为 题型一：直接找高求体积 方法说明：直接根据题目要求，做出相应底面的高，直接求解 典型例题 1. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，