4.3 指数函数-2023版四川省高职单招考试数学复习教材

4. 3　 指 数 函 数 1.指数函数的概念 函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 是指数函数的底数. 2.指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 题型一:指数函数的图象 如图,二次函数 y = ax2 + bx 与指数函数 y = ( a b ) x 的图象只可能为 (　 　 ) A. B. C. D. 根据指数函数 y = a b( ) x 的定义可知 a,b 同号且不相等, 85 则二次函数 y = ax2 + bx 图象的对称轴方程 x =- b 2a < 0,可排除 B 与 D. 由二次函数 y = ax2 + bx 图象过坐标原点,可知 C 正确. C 题型二:指数函数单调性的应用 已知 a = 0. 20. 3,b = 0. 30. 2,c = 10 3( ) -0. 1 ,则 a,b,c 的大小关系为 (　 　 ) A. c > b > a B. c > a > b C. b > a > c D. a > b > c ∵ 0. 20. 3 < 0. 30. 3,0. 30. 3 < 0. 30. 2 < 0. 30. 1 = 10 3( ) -0. 1 , ∴ 0. 20. 3 < 0. 30. 2 < 10 3( ) -0. 1 , ∴ c > b > a. A 若指数函数 y =(a - 2) x 在 x ∈ R 上是减函数,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (2, + ∞ ) B. (0,1) C. (2,3) D. (3, + ∞ ) 因为指数函数 y =(a - 2) x 在 x ∈ R 上是减函数, 所以 0 < a - 2 < 1,解得 2 < a < 3,即 a 的取值范围是(2,3) . C 题型三:求相关函数的定义域和值域 求下列函数的定义域与值域. (1)y = 2 1 x-3;　 　 　 　 　 　 　 (2)y = 1 3( ) | x| ;　 　 　 　 　 　 　 (3)y = 1 - 2x . (1) 要使函数 y = 2 1 x-3 有意义,则 x ≠ 3, 所以该函数的定义域为{x | x ≠ 3} . 设 t = 1 x - 3 ,则 y = 2t,t ≠ 0, 所以 y > 0 且 y ≠ 1,即该函数的值域为{y | y > 0 且 y ≠ 1} . (2) 易知函数 y = 1 3( ) | x| 的定义域为 R. 设 t =| x | ,则 y = 1 3( ) t ,t ≥ 0, 所以 0 < y ≤ 1,即该函数的值域为{y | 0 < y ≤ 1} . 95 (3) 要使函数 y = 1 - 2x 有意义,则 1 - 2x ≥ 0,解得 x ≤ 0, 故该函数的定义域为{x | x ≤ 0} . 因为 0 ≤ 1 - 2x < 1,即 0 ≤ 1 - 2x < 1, 所以该函数的值域为{y | 0 ≤ y < 1} . 已知函数 f(x) = ax + b(a > 0,a ≠ 1) 的图象过点(2,0),(0, - 2) . (1) 求 a 与 b 的值; (2) 求 x ∈ [ - 2,4] 时 f(x) 的最大值与最小值. (1)∵ 点(2,0),(0, - 2) 在函数 f(x) 的图象上, ∴ a2 + b = 0, a0 + b =- 2,{ 解得 a = ± 3 , b =- 3.{ 又 a > 0, ∴ a = 3 ,b =- 3. (2) 由(1) 可知,f(x) =( 3 ) x - 3. 由 3 > 1,得 y =( 3 ) x 在 R 上是增函数, ∴ f(x) =( 3 ) x - 3 在区间[ - 2,4] 上单调递增, ∴ f(x) 的最小值为 f( - 2) =- 8 3 ,最大值为 f(4) = 6. 1. 函数 y = a | x| (a > 1) 的图象是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 函数 f(x) = 2ax-1 - 1(a > 0,且 a ≠ 1) 恒过点 (　 　 ) A. (1, - 1) B. (1,1) C. (0,1) D. (0, - 1) 3. 设 a > 0 且 a ≠ 1,则函数 y = ax + b 与 y = b - ax