4.1 实数指数幂-2023版四川省高职单招考试数学复习教材

4. 1　 实数指数幂 1.根式 (1)n 次方根的概念 一般地,如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗),那么 b 叫做 a 的 n 次方根. (2)n 次方根的性质 ① 当 n是奇数时,正数的 n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数,这时,a的 n次 方根用符号 n a 表示. ② 当 n是偶数时,正数的 n次方根有两个,这两个数互为相反数,记为 ± n a ,负数没有偶次 方根. ③0 的任何次方根都是 0,记作n 0 = 0. (3)n 次根式的概念 式子 n a (n > 1,n ∈ N∗) 叫做 a 的 n 次根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (4)n 次根式的性质 ①( n a ) n = a; ② 当 n 为奇数时, n an = a; 05 ③ 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2.分数指数幂 (1) 正数的正分数指数幂的意义是:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (2) 正数的负分数指数幂的意义是:a - m n = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算法则 (1)am·an = am+n; (2)(am) n = amn; (3)(ab) n = an·bn . 其中,m,n ∈ R,a > 0,b > 0. 题型一:实数指数幂的运算 下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　 　 ) A. - x =( - x) 1 2 (x ≥ 0) B. 6 x2 = x 1 3 (x ≤ 0) C. x - 3 4 = 4 1 x( ) 3 (x > 0) D. x - 1 3 =- 3 x (x ≠ 0) - x = -x 1 2 (x ≥ 0),故 A 错误; 6 x2 = - x 1 3 (x ≤ 0),故 B 错误;x - 3 4 = 1 4 x3 = 4 1 x( ) 3 (x > 0),故 C 正确;x - 1 3 = 1 3x (x ≠ 0),故 D 错误. C 计算下列各式的值. (1)2 3 × 3 1. 5 × 6 12 ; (2) 2 1 4( ) 1 2 -( - 9. 6) 0 - 3 3 8( ) - 23 +(1. 5) -2 . (1) 原式 = 2 3 × 3 3 2 × 6 12 = 2 × 3 1 2 × 3 3 × 3 1 2 × 6 4 × 6 3 = 2 × 3 1 2 × 3 1 3 × 2 - 1 3 × 2 1 3 × 3 1 6 = 21- 1 3 + 1 3 × 3 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6. (2) 原式 = 3 2( ) 2 é ë ê ê ù û ú ú 1 2 - 1 - 3 2( ) 3 é ë ê ê ù û ú ú - 23 + 3 2( ) -2 = 3 2 - 1 - 3 2( ) -2 + 3 2( ) -2 = 1 2 . 15 题型二:较复杂的指数运算问题 (1) 计算:0. 027 1 3 - 6 1 4( ) 1 2 +256 3 4 +(2 2 ) 2 3 - 3 -1 + π0; (2) 已知实数 a,b 满足 2a = 3b = 6,求 1 a + 1 b 的值. (1) 原式 =[(0. 3) 3] 1 3 - 5 2( ) 2 é ë ê ê ù û ú ú 1 2 +(28) 3 4 +(2 3 2 ) 2 3 - 1 3 + 1 = 0. 3 - 5 2 + 26 +2 - 1 3 + 1 = 64 7 15 . (2) 由 2a = 3b = 6 得 a =log26,b =log36, 则 1 a = 1 log26 =log62, 1 b = 1 log36 =log63, 所以 1 a + 1 b =log62 + log63 =log6(2 × 3) =log66 = 1. 1. 计算:625 1 4 = (　 　 ) A. 5 B. 25 C. ± 5 D. ± 25 2. 用分数指数幂表示 a 3 a a ,正确的是 (　 　 ) A. a 4 3 B. a 3 4 C. a 1 12 D. a - 1 4 3. 已知 x 1 2 + x - 1 2 = 5,则 x + 1 x 的值为 (　 　 ) A. 5 B. 23 C. 25 D. 27 4. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　 　 ) A. - 4 x =( - x) 1 4 (x > 0) B. 6 y2 = y 1 3 (y < 0) C. x - 1 5 =- 5 x (x ≠