3.2 函数的单调性-2023版四川省高职单招考试数学复习教材

3. 2　 函数的单调性 43 1.增函数、减函数 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是增 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D上从 左到右是上升的 减函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是减 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D上从 左到右是下降的 2.单调性、单调区间、单调函数 如果函数 y = f(x) 在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有 单调性,区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 如果函数在其整个定义域内具有单调性,那么就称此函数是单调函数. 3.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) a > 0 时,在 R 上单调递增; a < 0 时,在 R 上单调递减 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ); a < 0 时,单调递增区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,m],单调递增区间是[m, + ∞ ); a < 0 时,单调递减区间是[m, + ∞ ),单调递增区间是( - ∞ ,m] 题型一:判断函数的单调性 (1) 函数 y = 2x - 3 在 R 上是 函数(填“增” 或“减”) . (2) 函数 y = x2 - 2x + 3 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . (3) 函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上是 函数(填“增” 或“减”) . (4) 函数 y = log 1 2 x 在(0, + ∞ ) 上是 函数(填“增” 或“减”) . (5) 函数 y = 1 2( ) x 在 R 上是 函数(填“增” 或“减”) . 53 (1) 如图 ① 所示,函数 y = 2x - 3 在 R 上是增函数. (2) 如图 ② 所示,函数 y = x2 - 2x + 3 在[1, + ∞ ) 上单调递增,在( - ∞ ,1] 上单调递减, 故函数 y = x2 - 2x + 3 的单调递增区间是[1, + ∞ ),单调递减区间是( - ∞ ,1] . (3) 如图 ③ 所示,当 x > 0 时,函数 y = 1 x 随 x 的增大而减小,故函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. 图 ① 　 　 　 图 ② 　 　 　 图 ③ (4) 如图 ④ 所示,函数 y =log 1 2 x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. (5) 如图 ⑤ 所示,函数 y = ( 1 2 ) x 在 R 上是减函数. 图 ④ 　 　 　 图 ⑤ (1) 增 　 (2)[1, + ∞ )　 ( - ∞ ,1]　 (3) 减 　 (4) 减 　 (5) 减 讨论函数 f(x) = x + 1 x 在(1, + ∞ ) 上的单调性. 设 1 < x1 < x2 . 由 f(x1) = x1 + 1 x1 ,f(x2) = x2 + 1 x2 ,得 f(x1) - f(x2) = x1 + 1 x1( ) - x2 + 1 x2( ) = (x1 - x2) + 1 x1 - 1 x2( ) = (x1 - x2) + x2 - x1 x1x2 = (x1 - x2) 1 - 1 x1x2( ) = (x1 - x2)(x1x2 - 1) x1x2 . ∵ 1 < x1 < x2, ∴ x1 - x2 < 0,x1x2 > 1, ∴ (x1 - x2)(x1x2 - 1) x1x2 < 0,即 f(x1) < f(x2), ∴ f(x) = x + 1 x 在(1, + ∞ ) 上是增函数. 63 题型二:运用函数的单调性比较大小 比较大小:(1)21. 01 与 21. 02;(2)log 1 3 π 与 log 1 3 e. (1)∵ 2 > 1, ∴ y = 2x 在 R 上是增函数. ∵ 1. 01 < 1. 02, ∴ 21. 01 < 21. 02 . (2)∵ 0 < 1 3 < 1, ∴ y = log 1 3 x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. ∵ π > e, ∴ log 1 3 π < log 1