1.2 集合间的基本关系-2023版四川省高职单招考试数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 1.子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中 的元素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合B是集合 A的子集,并且 A中至少 有一个元素不属于 B,那么把 B叫做 A的真 子集 如果两个集合的元素完全相同,那 么就说这两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子集; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⊆ B, 且 B ⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B, 那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B,且 B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元素完全相同 2.空集 (1) 空集的定义 不含有任何元素的集合叫做空集,记为 ⌀. (2) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集. ② 空集是任何非空集合的真子集. ③ 空集只有一个子集,即它本身. 5 (3)⌀,0,{0} 与{⌀} 之间的关系 ⌀ 与 0 ⌀ 与{0} ⌀ 与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是集合;0 是实数 ⌀ 不含任何元素;{0} 含一 个元素 0 ⌀ 不含任何元素;{⌀} 含一个元素,该元素是 ⌀ 关系 0 ∉ ⌀ ⌀ ⫋ {0} ⌀ ⫋ {⌀} 或 ⌀ ∈ {⌀} 题型一:集合间关系的判断 已知集合 A = {0,3},集合 B = {x | x(x - a) = 0},若 A = B,则 a 的值为 (　 　 ) A. 0 B. 3 C. - 3 D. 0 或 3 易知集合 B = {x | x(x - a) = 0} = {0,a} . ∵ A = B,A = {0,3}, ∴ a = 3. B 给出下列四个结论:①1 ⊆ {0,1,2};②{1} ∈ {0,1,2};③{0,1,2} ⊆ {0,1,2}; ④∅ ⊆ {0} . 其中错误的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 因为“⊆” 表示集合与集合间的关系,“∈” 表示元素与集合间的关系,所以 ①② 错 误;根据子集的性质,{0,1,2} 是其自身的子集,空集是任何集合的子集,所以 ③④ 正确. 故错 误结论的个数是 2. B 题型二:确定集合的子集、真子集 已知集合 A = {1,2},B = {1},则下列关系正确的是 (　 　 ) A. B ∉ A B. B ∈ A C. B ⊆ A D. A ⊆ B 两个集合之间不能用符号“∈” 或“∉”,A = {1,2} 和 B = {1} 是集合,排除选项 A,B. ∵ 集合 A = {1,2},B = {1}, ∴ 集合 B 中的元素都是集合 A 中的元素, ∴ 由子集的定义知 B ⊆ A. C 6 已知{a,b} ⊆ A ⫋ {a,b,c,d,e},求满足条件的集合 A 的个数. ∵ {a,b} ⊆ A, ∴ A 中必有元素 a,b. ∵ A 是{a,b,c,d,e} 的真子集, ∴ A 中元素除 a,b 外,还必须在 c,d,e 三个元素中任取 0 个或 1 个或 2 个, ∴ 满足条件的集合 A 为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a, b,d,e},即满足条件的集合 A 共有 7 个. 题型三:由集合间的关系确定参数 设集合 A = {x | ax2 - ax - 1 > 0} ,若 A 为空集,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. {a | - 4 < a < 0} B. {a | - 4 < a ≤ 0} C. {a | - 4 ≤ a < 0} D. {a | - 4 ≤ a ≤ 0} 若集合 A = {x | ax2 - ax - 1 > 0} 为空集,则不等式 ax2 - ax - 1 > 0 的解集为 空集. 若 a = 0,则不等式为 - 1 > 0,解集为空集; 若 a ≠ 0,则 a < 0, ( - a) 2 + 4a < 0,{ 解得 - 4 < a < 0. 综上,实数 a 的取值范围为{a | - 4 < a ≤ 0} . B 已知集合 A = {x | x2 - a < 0} ,集合 B = {x | x < 2} . 若 A ⊆ B,求实数 a 的取值 范围. ① 若 a ≤ 0, 则 x2 - a = x2 + ( - a) ≥ 0, 故不等式 x2 - a