4.2幂函数-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

4. 2　 幂 　 函 　 数 84 1.幂函数的定义 一般地,形如 y = xα(α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,底数的系数为 1,指数 α 为常数. 2.幂函数的图象与性质 (1) 幂函数的图象 ① 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限 内,要看函数的奇偶性. ② 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内. ③ 如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (2) 幂函数的性质 ① 所有幂函数在(0, + ∞ ) 上都有定义,并且图象都经过点(1,1) . ② 当 α > 0 时,幂函的图象经过原点,并且在区间[0, + ∞ ) 上是增函数. ③ 当 α < 0 时,幂函数在区间(0, + ∞ ) 上是减函数. ④ 当 α = 0 时,函数 y = x0 的图象是直线 y = 1 去掉一点(0,1) . 3.常见的 5 种幂函数的图象 4.常见的 5 种幂函数的性质 解析式 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞ ) R [0, + ∞ ) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在( - ∞ ,0) 上减, 在(0, + ∞ ) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 94 题型一:幂函数的概念 下列函数是幂函数的是 (　 　 ) A. y = 2x B. y = x2 - 1 C. y = x3 D. y = 2x 形如 y = xα 的函数为幂函数,故只有 y = x3 为幂函数. C 题型二:幂函数的值 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点(8,4),则 f(27) = (　 　 ) A. 3 B. 3 3 C. 9 D. 9 3 设 f(x) = xn . 由幂函数 y = f(x) 的图象经过点(8,4) 得 8n = 4,解得 n = 2 3 , 所以 f(x) = x 2 3 , 所以 f(27) =27 2 3 = 9. C 题型三:幂函数单调性的应用 试比较下列各组值的大小: (1)0. 20. 2 与 0. 30. 2; (2)3 - 13 与 4 - 13 . (1)∵ 函数 y = x0. 2 在(0, + ∞ ) 上单调递增,且 0. 2 < 0. 3, ∴ 0. 20. 2 < 0. 30. 2 . (2)∵ 函数 y = x - 13 在(0, + ∞ ) 上单调递减,且 3 < 4, ∴ 3 - 13 > 4 - 13 . 1. 已知幂函数 f(x) = x2m-1 的图象经过点(2,8),则实数 m 的值是 (　 　 ) A. - 1 B. 1 2 C. 2 D. 3 2. 如果幂函数 f(x) = xα 的图象经过点( - 2,4),那么 f(x) 的单调递增区间是 (　 　 ) A. ( - ∞ , + ∞ ) B. [0, + ∞ ) C. ( - ∞ ,0] D. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 3. 已知函数 f(x) = xa 的图象经过点(4,2),则 (　 　 ) A. 函数 f(x)的定义域为( - ∞ , + ∞ ) B. 函数 f(x)为偶函数 C. 函数 f(x)为减函数 D. 当 x > 1 时,f(x) > 1 05 4. 若 a = 2 - 16 ,b = 3 - 16 ,则 a,b 的大小关系为 . 5. 已知幂函数 y = x3-k(k ∈ N∗) 为奇函数,且在(0, + ∞ ) 上单调递增,则 k = . (3) 设工厂获得的利润为 L 元, 则 L = (54 - 500 50 - 30) × 500 = 7 000, 即销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 7 000 元. 第四章 　 指数函数和对数函数 4. 1　 实数指数幂 1. B　 【解析】 1 2( ) -1 + 8 2 3 + (2 022) 0 = 2 + 4 + 1 = 7. 2. B　 【解析】 　 x = x 1 2 =(x3) 1 6 = (64) 1 6 = 2. 3. A　 【解析】 3 2 　 2 =(2 3 2 ) 1 3 = 2 1 2 . 4. B　 【解析】 因为 a > 0,所以 a· a = a·a 1 2 = a 3 2 . 5. C　 【解析】( - 2a) 4 = 16a4,故 A 错误;a ÷ a 3 2 = a - 12 , 故 B 错误;(a 1 2 ) 2 = a, 故 C 正确;a 1