3.5 函数的实际应用-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 5　 函数的实际应用 建立函数模型解应用题的步骤如下: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:用数学方法将得到的结论还原到实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 题型一:二次函数模型的实际应用 用一根长为 l 的铁丝制作一个如图所示的框架,上半部分为半圆形,下半部分为矩形,若 AB = 2x,此框架的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出其定义域. 由题意得 2x + 2AD + πx = l,解得 AD = l 2 - π 2 x - x, 所以此框架的面积 y = 1 2 πx2 + l 2 - π 2 x - x( )·2x = - 2 + π2( ) x 2 + lx. 因为 l 2 - π 2 x - x > 0,x > 0, 所以 0 < x < l 2 + π . 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2 + π 2( ) x 2 + lx,定义域为 0, l 2 + π( ) . 24 某人用100 万元进行投资,有两种投资方式,一种是投资某科技公司,其收益 f(x) 与投入的资金 x(单位:万元) 之间的函数关系式为 f(x) = a 2 x(a为常数),另一种是投资某生态环保公司,其收益 g(x) 与投 入的资金 x(单位:万元) 的算术平方根成正比,且各投资 1 万元时,投资科技公司和生态环保公司的收益分 别为 0. 18 万元和 0. 36 万元. (1) 分别求 f(x),g(x) 与投资金额 x 的函数关系式; (2) 如何安排这 100 万元资金,才能使得总收益最大,最大收益是多少? (1) 由题意知 f(1) = a 2 = 0. 18, 所以 f(x) = 0. 18x(0 < x ≤ 100) . 设 g(x) = m x (m ≠ 0,m 为常数), 则 g(1) = m = 0. 36, 所以 g(x) = 0. 36 x (0 < x ≤ 100) . (2) 设投资生态环保公司的资金为 l 万元,则投资科技公司的资金为(100 - l) 万元,总收益为 y(单位: 万元) . 由题意得 y = 0. 18 × (100 - l) + 0. 36 l (0 < l ≤ 100) . 令 l = t,则 t ∈ (0,10],y = 18 - 0. 18t2 + 0. 36t = - 0. 18( t - 1) 2 + 18. 18. 当 t = 1,即 l = 1 时,总收益 y 取得最大值,最大收益为 18. 18 万元,此时投资生态环保公司 1 万元,投资 科技公司 99 万元. 题型二:分段函数模型的实际应用 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对公司员工进行 培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元培训材料费;另一部分是给 培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人收取培训费 1 000 元;若参加培训的员工 人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设该公司参加培训的员工人数为 x,此次培训的总费用为 y 元. (1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. (1) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y = 400x + 1 000x = 1 400x; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = 400x + [1 000 - 20(x - 30)]·x = - 20x2 + 2 000x. 故 y = 1 400x,0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N, - 20x2 + 2 000x,30 < x ≤ 60,x ∈ N.{ (2) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y ≤ 1 400 × 30 = 42 000,x = 30 时等号成立; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = - 20(x - 50) 2 + 50 000 ≤ 50 000,x = 50 时等号成立. 综上,该公司此次培训的总费用最多需要 50 000 元. 34 1. 某学校拟建一个周长为 400 米的操场(如图所示),该操场由两个半圆和一个矩形构成. (1) 将矩形区域的长表示成宽的函数; (2) 学生的课外活动区域一般在矩形区域内进行,为了使学生的课外活动区域尽可能大,该如何设计矩形 区域的长和宽? 2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话