3.4 二次函数的图象和性质-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 4　 二次函数的图象和性质 1.二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1) 图象 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是对称轴平行于 y 轴(包括与 y 轴重合) 的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的顶点坐标、对称轴 ①y = ax2 + bx + c = a x + b 2a( ) 2 + 4ac - b 2 4a , 其图象的顶点坐标是( - b 2a , 4ac - b2 4a ), 对称轴是直 线x = - b 2a . ② 运用配方的方法,将二次函数的解析式化为 y = a(x - h) 2 + k的形式,得到二次函数图象的顶点坐标 为(h,k),对称轴是直线 x = h. (3) 抛物线 y = ax2 + bx + c 中 a,b,c 的作用 ①a 决定抛物线的开口方向及开口大小. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b 2a ,故 b = 0 时,对称轴为 y轴; b a > 0(即 a,b同号) 时,对称轴在 y轴左侧; b a < 0(即 a,b异号) 时,对称轴在 y轴右侧. ③c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴交点的位置. 抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴有且只有一个 交点(0,c),当 c = 0 时,抛物线经过原点;当 c > 0 时,抛物线与 y轴交于正半轴;当 c < 0 时,抛物线与 y轴交 于负半轴. 83 3.几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h) 2 y = a(x - h) 2 + k y = ax2 + bx + c 当 a > 0 时,开口向上; 当 a < 0 时,开口向下 直线 x = 0(y 轴) (0,0) 直线 x = 0(y 轴) (0,k) 直线 x = h (h,0) 直线 x = h (h,k) 直线 x = - b 2a ( - b 2a ,4ac - b2 4a ) 4.用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般步骤:设二次函数的解析式 → 列出含参数的方程(组) → 解方程(组) → 还原写出解析式. (2) 已知抛物线上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0); 已知抛物线的顶点或对称轴,通常选择顶点式 y = a(x - h) 2 + k(a ≠ 0); 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标 x1,x2,通常选用交点式 y = a(x - x1)(x - x2)(a ≠ 0). 5.二次函数图象与性质的应用 (1) 利用二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值及图象的平移变化; (2) 利用二次函数的图象求解方程(组)、解析式和解决实际问题,体现数形结合思想. 题型一:二次函数的图象与性质 在同一坐标系内,函数 y = ax + b 和 y = ax2 + bx + c 的图象只可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 对于 A,直线 y = ax + b 经过第一、二、四象限,则 a < 0,b > 0,故二次函数 y = ax2 + bx + c图象 的开口向下,故 A 错误; 对于 B,直线 y = ax + b 经过第一、三、四象限,则 a > 0,b < 0,故二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的对称 轴为直线 x = - b 2a 在 y 轴右侧,且开口向上,故 B正确; 对于 C,直线 y = ax + b 经过第一、二、三象限,a > 0,b > 0,故二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的对称轴 为直线 x = - b 2a 在 y 轴的左侧,故 C 错误; 对于 D,直线 y = ax + b 经过第一、三象限,则 a > 0,b = 0,故二次函数 y = ax2 + bx + c图象的对称轴为 直线 x = - b 2a = 0,即对称轴为 y 轴,故 D 错误. B 已知函数 f(x) = x2 - bx + c 图象的对称轴为直线 x = 2,则 (　 　 ) A. f(1) < f(b) < f( - 1) B. f( - 1) < f(b) < f(1) C. f(b) < f( - 1) < f(1) D. f(1) < f( - 1) < f(b) 93 ∵ 函数 f(x) = x2 -