2.3 含绝对值的不等式-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 3　 含绝对值的不等式 1.绝对值的概念 对于任意的实数 a,有 | a | = a(a > 0), 0(a = 0), - a(a < 0) . ì î í ïï ïï 其几何意义是:数轴上表示实数 a 的点到原点的距离. 2.绝对值不等式 | x | > a 与 | x | < a 的解集 不等式 a > 0 a = 0 a < 0 | x | < a {x | - a < x < a} ⌀ ⌀ | x | > a {x | x > a 或 x < - a} {x | x ≠ 0} R 12 3. | ax + b | ≤ c(c > 0) 和 | ax + b | ≥ c(c > 0) 型不等式的解法 (1) | ax + b | ≤ c⇔ - c ≤ ax + b ≤ c; (2) | ax + b | ≥ c⇔ax + b ≥ c 或 ax + b ≤- c. 题型:含绝对值不等式的解法 求绝对值不等式 1 3 | x | ≤ 6 的解集. 由不等式 1 3 | x | ≤ 6,得 | x | ≤ 18,则 - 18 ≤ x ≤ 18, 所以原不等式的解集为[ - 18,18] . 不等式 | x + 1 | > 2 的解集是 (　 　 ) A. {x | - 1 < x < 1} B. {x | x < - 1 或 x > 1} C. {x | - 3 < x < 1} D. {x | x < - 3 或 x > 1} ∵ | x + 1 | > 2, ∴ x + 1 > 2 或 x + 1 < - 2, ∴ x > 1 或 x < - 3, ∴ 原不等式的解集为{x | x > 1 或 x < - 3} . D 不等式 | x - 4 | > 7 的解集是 . 由原不等式可得 x - 4 > 7 或 x - 4 < - 7,则 x > 11 或 x < - 3, 故原不等式的解集为( - ∞ , - 3) ∪ (11, + ∞ ) . ( - ∞ , - 3) ∪ (11, + ∞ ) 1. 不等式 | 2x - 1 | ≤ 3 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,2] B. ( - ∞ , - 1] ∪ [2, + ∞ ) C. [ - 2,1] D. ( - ∞ , - 2] ∪ [1, + ∞ ) 2. 不等式 | x + 1 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 1} B. {x | x > 1 或 x < - 3} C. {x | - 3 < x < 1} D. {x | x < - 3} 3. “x > 3” 是“ | x | > 3” 的 (　 　 ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知不等式 | x - a | < b 的解集是{x | - 3 < x < 9},则实数 a,b 的值为 (　 　 ) A. a = - 3,b = 6 B. a = 3,b = - 6 C. a = 3,b = 6 D. a = - 3,b = - 6 22 5. 不等式 | 2x - 1 | < x + 1 的解集为 . 6. 已知 p: | x | ≤ m(m > 0),q: - 1 ≤ x ≤ 4,若 p 是 q 的充分条件,则 m 的最大值为 . 7. 已知 p: | 2x - 5 | ≤ 3,q:x2 - (a + 2)x + 2a ≤ 0. 若 p 是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 8. 解关于 x 的不等式: | ax - 1 | < 3(a ≠ 0) . 32 (2) f(x) ≤ 0 即 ax2 - (2a + 1)x + 2 ≤ 0. 因为 a > 0, 所以不等式 ax2 - (2a + 1)x + 2 ≤ 0 可化为(x - 1 a )(x - 2) ≤ 0. ① 当 0 < a < 1 2 时,2 ≤ x ≤ 1 a ; ② 当 a > 1 2 时, 1 a ≤ x ≤ 2; ③ 当 a = 1 2 时,x = 2. 综上,当 0 < a < 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解集是{x | 2 ≤ x ≤ 1 a }; 当 a > 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解集是{x | 1 a ≤ x ≤ 2}; 当 a = 1 2 时,不等式 f(x) ≤ 0 的解集是{x | x = 2} . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | 2x - 1 | ≤ 3 得 - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 3,解得 - 1 ≤ x ≤ 2,所以原不等式的解集为[ - 1,2] . 2. B　 【解析】 因为 | x + 1 | >