2.2 一元二次不等式-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠ 0. 3.一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0判别式Δ的不同情况,二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1 ,x2 } {x0 } ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c ≥ 0 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c < 0 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤ 0 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 　 　 (2) 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: ① 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; ② 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; ③ 根据上表写出一元二次不等式的解集. 81 题型一:一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集: (1)(x + 4)( - x - 1) < 0; (2) - 3x2 + x > 2; (3)4x2 - 4x + 1 > 0; (4) - x2 + 5x + 6 ≥ 0. (1) 不等式(x + 4)( - x - 1) < 0 可化为(x + 4)(x + 1) > 0,解得 x > - 1 或 x < - 4, ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , - 4) ∪ ( - 1, + ∞ ) . (2) 不等式 - 3x2 + x > 2 可化为 3x2 - x + 2 < 0. ∵ Δ = 1 - 4 × 3 × 2 < 0, ∴ 原不等式的解集为 ⌀. (3) 不等式 4x2 - 4x + 1 > 0 可化为(2x - 1) 2 > 0,解得 x ≠ 1 2 , ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , + ∞ ) . (4) 不等式 - x2 + 5x + 6 ≥ 0 可化为 x2 - 5x - 6 ≤ 0,即(x - 6)(x + 1) ≤ 0,解得 - 1 ≤ x ≤ 6, ∴ 原不等式的解集为[ - 1,6] . 解不等式 - 3 < 4x - 4x2 ≤ 0. 原不等式等价于 4x - 4x2 ≤ 0, 4x - 4x2 > - 3,{ 即 x ≥ 1 或 x ≤ 0, - 1 2 < x < 3 2 , ì î í ïï ï ∴ - 1 2 < x ≤ 0 或 1 ≤ x < 3 2 , ∴ 原不等式的解集为 - 1 2 ,0( ù û úú ∪ 1, 3 2 é ë êê ) . 题型二:一元二次不等式的应用 已知不等式 ax2 - bx + c < 0 的解集为{x | x > 1 或 x < - 2},则函数 y = ax2 + bx + c的大致图 象为 (　 　 ) A. B. C. D. ∵ 不等式 ax2 - bx + c < 0 的解集为{x | x > 1 或 x < - 2}, ∴ a < 0, c a = - 2, b a = - 1, ì î í ï ï ï ï 解得 c = - 2a, b = - a,{ 91 ∴ y = ax2 + bx + c = ax2 - ax - 2a = a(x2 - x - 2) = a(x - 2)(x + 1), ∴ 函数 y = ax2 + bx + c 的图象开口向下,与 x 轴交点的横坐标分别为 2, - 1. C 当 m 取何值时,方程 mx2 - (1 - m)x + m = 0(m ∈ R) 有实根? 当 m = 0 时,x = 0. 当 m ≠ 0 时,由方程 mx2 - (1 - m)x + m = 0 对应的判别式 Δ ≥ 0,得(1 - m) 2 - 4m2 ≥ 0,解得- 1 ≤ m ≤ 1 3 且 m ≠ 0. 综上,满足要求的 m 的取值范围是 - 1, 1 3 é ë êê ù û úú . 1. 不等式 1 + 5x - 6x2 > 0 的解集是 (