2.1 不等式的基本性质及一元一次不等式(组-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 1　 不等式的基本性质及一元一次不等式(组) 1.实数的相关概念及大小的比较 (1) 不等式 用不等号( < , > , ≥, ≤, ≠) 连接的式子叫做不等式. (2) 比较实数大小的方法 一般地,对于两个任意的实数 a 和 b,有 a - b > 0⇔a > b; a - b = 0⇔a = b; a - b < 0⇔a < b. 因此,比较两个实数的大小,只需要考察它们的差即可. 2.区间 设 a,b 是实数,且 a < b. (1) 满足 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的全体叫做闭区间,记作[a,b] . (2) 满足 a < x < b 的实数 x 的全体叫做开区间,记作(a,b) . (3) 满足 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b 的实数 x 的全体都叫做半开半闭区间,分别记作[a,b),(a,b] . (4) 全体实数也可用区间表示为( - ∞ , + ∞ ),符号“ + ∞ ” 读作“正无穷大”,“ - ∞ ” 读作“负无穷大” . (5) 满足 x ≥ a 的全体实数,记作[a, + ∞ ) . 31 (6) 满足 x > a 的全体实数,记作(a, + ∞ ) . (7) 满足 x ≤ a 的全体实数,记作( - ∞ ,a] . (8) 满足 x < a 的全体实数,记作( - ∞ ,a) . 3.不等式的性质 性质 性质内容 特别提示 对称性 a > b⇔b < a ⇔ 传递性 a > b,b > c⇒a > c ⇒ 可加性 a > b⇔a + c > b + c ⇔ 可乘性 a > b c > 0} ⇒ac > bc a > b c < 0} ⇒ac < bc 注意 c 的符号 同向可加性 a > b c > d} ⇒a + c > b + d ⇒ 同向同正可乘性 a > b > 0 c > d > 0} ⇒ac > bd ⇒ 可乘方性 a > b > 0⇒an > bn (n ∈ N,n ≥ 2) 可开方性 a > b > 0⇒ n a > n b (n ∈ N,n ≥ 2) a,b 同为正数 4.一元一次不等式(组) 的解法 (1) 不等式的解集和解不等式 在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数所取的所有值的集合叫做该不等式的解集. 求不 等式解集的过程叫做解不等式. (2) 一元一次不等式及其解法 任何一元一次不等式最后都可写为 ax > b 的形式,其中 a,b ∈ R. ① 当 a > 0 时,x > b a ,解集为 x | x > b a{ } . ② 当 a < 0 时,x < b a ,解集为 x | x < b a{ } . ③ 当 a = 0 时,若 b < 0,则不等式的解集为 R;若 b ≥ 0,则不等式的解集为 ⌀. (3) 一元一次不等式组及其解法 ① 一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组,其一般形式为 x > a, x > b{ 或 x > a, x < b{ (a < b) 或 x < a, x < b{ 或 x < a, x > b{ (a > b) . ② 一元一次不等式组的解法 图象法:在数轴上取两个一元一次不等式解集的交集. 口诀法:依据口诀“同大取大,同小取小,大小、小大中间找,大大、小小是空集” 直接得不等式组的 解集 . 41 题型一:利用不等式的性质比较大小 若 a,b,c ∈ R,则下列命题为假命题的是 (　 　 ) A. 若 a > b ,则 a > b B. 若 a > b,则 ac > bc C. 若 b > a > 0,则 1 a > 1 b D. 若 ac2 > bc2,则 a > b 因为 a > b ,所以 a > b ≥ 0,故选项 A 为真命题. 若 a > b,c < 0,则 ac < bc,故选项 B 为假命题. 因为 b > a > 0,所以 1 a > 1 b > 0,故选项 C 为真命题. 因为 ac2 > bc2,所以 c2 > 0,所以 a > b,故选项 D 为真命题. B 若实数 a,b 满足 a < b < 0,则下列不等式中不成立的是 (　 　 ) A. | a | > | b | B. 1 a - b > 1 a C. 1 b < 1 a D. b2 - a2 < 0 ∵ a < b < 0, ∴ | a | > | b | , a ab < b ab , ∴ 1 b < 1 a ,a2 - b2 > 0,选项 A,C,D 正确. ∵ 0 > a - b > a, ∴ a - b a(a - b) > a a(a - b) , ∴ 1 a - b < 1 a ,选项 B 不正确. B 已知 a > 2,b > 2,试比较 a +