1.4 充要条件-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 4　 充 要 条 件 1.命题 概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句叫做真命 题,判断为假的语句叫做假命题 特点 (1) 能判断真假;(2) 陈述句 分类 真命题、假命题 2.充分条件与必要条件 “如果 p,则 q” 是真命题时,我们就说由 p可推出 q,称 p是 q的充分条件或 q是 p的必要条件,记作 p⇒q. 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充分且必要条件,简称充要条 件,记作 p⇔q. 也常说 p 与 q 等价. 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 4.既不充分也不必要条件 如果 p 不是 q 的充分条件(p⇒/ q),p 也不是 q 的必要条件(q⇒/ p),则称 p 为 q 的既不充分也不必要条件. 题型一:命题真假的判断 下列命题为真命题的是 (　 　 ) A. 如果 a 与 b 互为相反数,那么 a b = - 1 B. a,b ∈ R,方程 ax + b = 0 最多有一个实数根 01 C. 若 n 为任意一个自然数,则 n2 > n D. 任何两个无理数之间都有一个有理数 对于 A,当 a = b = 0 时,满足 a 与 b 互为相反数,不满足 a b = - 1,故 A 错误; 对于 B,当 a = b = 0 时,方程 ax + b = 0 有无数个实数根,故 B 错误; 对于 C,当 n = 0 时,不满足 n2 > n,故 C 错误; 对于 D,任何两个无理数之间都有一个有理数,故 D 正确. D 题型二:充分条件、必要条件、充要条件的判定 用“充分条件”“必要条件” 或“充要条件” 填空. (1)“x 是实数” 是“x 是有理数” 的 ; (2)“x > 3” 是“x > 5” 的 ; (3)“x 是正方形” 是“x 是矩形” 的 ; (4)“A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的 . (1)∵ x 是有理数必然也是实数,但 x 是实数不一定是有理数, ∴ “x 是实数” 是“x 是有理数” 的必要条件. (2)∵ x > 3 不一定有 x > 5,如 4 > 3,4 < 5,x > 5 必有 x > 3, ∴ “x > 3” 是“x > 5” 的必要条件. (3)∵ 正方形一定是矩形,矩形不一定是正方形, ∴ “x 是正方形” 是“x 是矩形” 的充分条件. (4)∵ A ⊆ B⇔A ∩ B = A, ∴ “A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的充要条件. (1) 必要条件 　 (2) 必要条件 　 (3) 充分条件 　 (4) 充要条件 设平面四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“AC ⊥ BD” 是“四边形 ABCD 为菱形” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若 AC ⊥ BD,则四边形 ABCD 不一定是菱形. 若四边形 ABCD 为菱形,则 AC ⊥ BD 成立. 故“AC ⊥ BD” 是“四边形 ABCD 为菱形” 的必要不充分条件. B 1. 下列命题为真命题的是 (　 　 ) A. 所有的素数都是奇数 B. 若 a,b 都是无理数,则 a + b 是无理数 C. 若 A ⊆ B,则 A ∩ B = A D. ∀m ∈ R,不等式 x2 - mx + 1 > 0 恒成立 2. “x = 1” 是“x2 - 1 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11 3. 已知不等式 x + 3 ≥ 0 的解集是 A,若 a ∈ A 是假命题,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a ≥- 3 B. a > - 3 C. a ≤- 3 D. a < - 3 4. 已知 p: - 1 < x < 1,q:x > m,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. [ - 1, + ∞ ) B. ( - ∞ , - 1) C. ( - 1,0) D. ( - ∞ , - 1] 5. 在 △ABC 中,“sin A = 3 2 ” 是“A = 2π 3 ” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知 p:x2 + 2x - 3 > 0,q:x > a,若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 3] B. [1, + ∞ ) C. [ - 3, + ∞ ) D. ( - ∞ ,1] 7. “