1.3 集合的基本运算-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 3　 集合的基本运算 1.交集 (1) 交集的概念 自然语言 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由既属于 A 又属于 B 的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A ∩ B,读作“A 交 B” 符号语言 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 　 　 (2) 交集的性质 ①A ∩ A = A; ②A ∩ ⌀ = ⌀; ③A ∩ B = B ∩ A; ④A ⊆ B⇔A ∩ B = A. 2.并集 (1) 并集的概念 自然语言 一般地,对于两个给定的集合 A,B,由所有属于 A或属于 B的元素组成的集合叫做 A与 B的并集,记作 A ∪ B, 读作“A 并 B” 符号语言 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 　 　 (2) 并集的性质 ①A ∪ A = A; ②A ∪ ⌀ = A; ③A ∪ B = B ∪ A; ④A ⊆ B⇔A ∪ B = B; ⑤A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B,A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B. 3.补集 (1) 全集 我们在研究集合与集合之间的关系时,如果一些集合都是某一给定集合的子集,那么这个给定的集合 叫做这些集合的全集,通常用 U 表示,例如,我们在研究数集时,常常把实数集 R 作为全集. (2) 补集的概念 自然语言 如果集合 A是全集U的子集,那么由U中不属于 A的所有元素组成的集合叫做 A在全集U中的补集,记作∁UA, 读作“A 在 U 中的补集” 符号语言 ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} 7 　 　 (3) 补集的性质 ①A ∪ (∁UA) = U; ②A ∩ (∁UA) = ⌀; ③∁U(∁UA) = A. 题型一:集合的运算 已知 A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7},求 A ∩ B,A ∪ B. 易知 A ∩ B = {1,2,3,4} ∩ {3,4,5,6,7} = {3,4}; A ∪ B = {1,2,3,4} ∪ {3,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7} . 已知 A = {x | | x | < 2},B = {x | x2 - 2x - 3 < 0},求 A ∩ B,A ∪ B. 易知 A = {x | | x | < 2} = {x | - 2 < x < 2},B = {x | x2 - 2x - 3 < 0} = {x | - 1 < x < 3}, 故 A ∩ B = {x | - 1 < x < 2},A ∪ B = {x | - 2 < x < 3} . 已知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7},集合 M = {2,4,6},则∁UM = (　 　 ) A. {1,3,5} B. {2,3,5} C. {1,3,5,7} D. {1,3,4,6} ∵ U = {1,2,3,4,5,6,7},M = {2,4,6}, ∴ ∁UM = {1,3,5,7} . C 已知全集 U = R,A = {x | x2 - 3x - 4 > 0},B = {x | - 2 ≤ x ≤ 2},则如图所示的阴影部分所表 示的集合为 (　 　 ) A. {x | - 2 ≤ x < 4} B. {x | x ≤ 2 或 x ≥ 4} C. {x | - 2 ≤ x ≤- 1} D. {x | - 1 ≤ x ≤ 2} 阴影部分所表示的集合为 B ∩ (∁UA) . ∵ A = {x | x2 - 3x - 4 > 0} = {x | x < - 1 或 x > 4},U = R, ∴ ∁UA = {x | - 1 ≤ x ≤ 4} . 又 B = {x | - 2 ≤ x ≤ 2}, ∴ B ∩ (∁UA) = {x | - 1 ≤ x ≤ 2} . D 题型二:与集合运算有关的综合问题 设集合 M = {(x,y) | y = x2 + 2x},N = {(x,y) | y = x + a},求使 M ∩ N = ⌀ 成立的实数 a 的 取值范围. M ∩ N = {(x,y) | y = x2 + 2x} ∩ {(x,y) | y = x + a} = (x,y) y = x2 + 2x, y = x + a{{ } . 8 ∵ M ∩ N = ⌀, ∴ 方程组 y = x2 + 2x　 ①, y = x + a　 ②{ 无解. 将 ② 代入 ① 消去 y 并整理,得 x2 + x - a = 0　 ③. 易知方程 ③ 的判别式 Δ < 0,即 1 + 4a < 0, ∴ a < - 1 4 , ∴ a 的取值范围是 a | a < - 1 4{ } . 1. 设集合 A = { - 2, - 1,0,1},B = N,则 A ∩ B = (　 　 )