1.2 集合间的基本关系-2023版山西省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 1.子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中 的元素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合 B 是集合 A 的子集,并且 A 中 至少有一个元素不属于 B,那么把 B 叫 做 A 的真子集 如果两个集合的元素完全相同,那么就 说这两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子集; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⊆ B, 且 B ⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B,那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B,且 B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元素完全相同 4 2.空集 (1) 空集的定义 不含有任何元素的集合叫做空集,记为 ⌀. (2) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集. ② 空集是任何非空集合的真子集. ③ 空集只有一个子集,即它本身. 题型一:集合间关系的判断 下列各关系式正确的是 (　 　 ) A. 3 ∈ {0,1,2} B. 2 ⫋ {0,1,2} C. ⌀ ∈ {0,1,2} D. ⌀ ⫋ {0,1,2} 3 ∉ {0,1,2},故 A 不正确. 2 是元素,{0,1,2} 是集合,元素与集合的关系只能用符号“∈”“∉” 表示,故 B 不正确. ⌀ 是集合,{0,1,2} 是集合,集合与集合的关系不能用符号“∈”“∉” 表示,故 C 不正确. ⌀ 是任何非空集合的真子集,故 D 正确. D 已知集合 M = {x | x = m - 5 6 ,m ∈ Z},N = {x | x = n 2 - 1 3 ,n ∈ Z},P = {x | x = p 2 + 1 6 ,p ∈ Z},则集合 M,N,P 的关系为 (　 　 ) A. M = N = P B. M ⊆ N = P C. M ⊆ N ⊆ P D. M ⊆ N,N ∩ P = ⌀ 因为 M = {x | x = 3 × (2m - 1) - 2 6 ,m ∈ Z},N = {x | x = 3n - 2 6 ,n ∈ Z},P = {x | x = 3p + 1 6 = 3(p + 1) - 2 6 ,p ∈ Z},其中 n,p + 1 均表示全体整数,2m - 1 表示全体奇数, 所以 M ⊆ N = P. B 题型二:确定集合的子集、真子集 已知集合 A = {x | - 1 < x < 3,x ∈ N},则集合 A 的真子集的个数为 (　 　 ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 由题意得 A = {x | - 1 < x < 3,x∈N} = {0,1,2},其真子集有⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2}, {1,2},共 7 个. A 已知{a,b} ⊆ A ⫋ {a,b,c,d,e},求满足条件的集合 A 的个数. ∵ {a,b} ⊆ A, ∴ A 中必有元素 a,b. 5 ∵ A 是{a,b,c,d,e} 的真子集, ∴ A 中元素除 a,b 外,还必须在 c,d,e 三个元素中任取 0 个或 1 个或 2 个, ∴ 满足条件的集合 A 为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},即满足 条件的集合 A 共有 7 个. 题型三:由集合间的关系确定参数 设集合 A = {x | ax2 - ax - 1 > 0},若 A 为空集,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. {a | - 4 < a < 0} B. {a | - 4 < a ≤ 0} C. {a | - 4 ≤ a < 0} D. {a | - 4 ≤ a ≤ 0} 若集合 A = {x | ax2 - ax - 1 > 0} 为空集,则不等式 ax2 - ax - 1 > 0 的解集为空集. 当 a = 0 时,不等式为 - 1 > 0,解集为空集; 若 a ≠ 0,必有 a < 0, ( - a) 2 + 4a ≤ 0,{ 解得 - 4 ≤ a < 0. 综上,a 的取值范围为{a | - 4 ≤ a ≤ 0} . D 1. 设集合 A = {0,1},集合 B = {x | x < 2 或 x > 3},则 A 与 B 的关系为 (　 　 ) A. A ∈ B B. B ∈ A C. A ⊆ B D. B ⊆ A 2. 下列表述正确的是