3.4 一元函数导数及其应用-2023版湖南省高职单招考试数学复习教材

3.4一元函数导数及其应用 知识导图 两数的平均变化卒及晖时变化帝 子数的t念 切线的斜率 今数的儿何总义 元函数导数 切线的方程 及出应用 本小初等函数的导数公式 兰数的运饼法则 59 晶 要点扫描 1.函数的平均变化率及瞬时变化率 八x)从x到与的平均变化率是Ay_-x) x2-x1 △Y f八xo+△x）-f八xo） )在x=名处的瞬时变化率是四 △x 2.导数的概念 fx)在x=。处的导数就是f代x)在x=。处的瞬时变化率，记作y或f(x),即f(x）= (x。+△r)-f(xo) lim' △x 当把上式中的x。看作变量x时，子(x)为f(x)的导函数，简称导数，即y'=F(x)= 画x+4)- Ax 3.导数的几何意义 函数f(x)在x=和处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x。八x)处的切线的斜率，即曲线y=八x)在 点P(xo(x。)处切线的斜率k=∫()，则曲线y=f八x)在点P处的切线方程为y-f八)=∫(x)(x-xa): 4.基本初等函数的导数公式 (1)e'=0(e为常数)： (2)(x)'=nx-(n≠0)： (3)(sin x)'=cosx,(cos x)'=-sinx; (4)(e)'=e,(a)'=alna(a>0且a≠1)： (5hr=(g=ha>0且a≠1 xIn a 5.导数的运算法则 (1)[fx)±g(x)]'=f(x)±g'(x): (2)[fx)g(x)]'=f(x)g(x）+fx)g'(x): e['-ee0ga(g≠o. [g(x)]2 考点突破 题型一：求函数瞬时变化率问题 例少 在自行车比赛中，运动员的位移s(单位：m)与比赛时间（单位：s)存在函数关系s=10r+5, 则1=20s时的瞬时速度为 m/s. 60 解析令f(x)=s=10+5^． 因为-（20+Δl)-f(20)10×(20+Δ)+5×(20+Δ)^2-(10×20+5×20^2=210+5Δ，Δt 所以f'（20)=lim“=lim(210+5Δt)=210，即t=20s时的瞬时速度为210m/s 答案210 题型二：导数的概念 例2-求函数y=x^2在x=1处的导数。 Δr hm-+Δx)^2-1=|m2Δx+(Δx)^2=im(2+Δx)=2 题型三：导数的几何意义 例3已知曲线y-三上一点P(2，)，求： (1)曲线在点P处的切线的斜率； （2）曲线在点P处的切线方程。 解析（1）因为y-3， 所以y'=x'， 所以曲线y=3x^在点P处的切线的斜率k=y′=4. (2)易得曲线在点P(2，处的切线方程为y-=4(x-2)，即12x-3y-16=0. 题型四：导数公式的应用 例4，求下列函数的导数。 （1)y=x'；(2)y=；(3)y=% 解析（1)y’=6x’ （2)：y=x^2， ’”-3x+=三 （3)∵y=x7， 题型五：导数的运算法则的应用 例5求下列函数的导数。 (1)y=x'-x^2-x+3；（2)y=(x-1)(2-3x)。 解析（1)y′=4x'-2x-1. (2)y’=(x-1)’(2~3x)+(x-1)(2-3x)’=(2-3x)+(x-1)×(-3)=-6x+5. 61 兰，晶 反馈演练 1.若函数八)=G在x=处的瞬时变化率是5 则 任 C.1 D.3 2.下列求导运算正确的是 A.(x+1)'=x B.()'=Ins C.(sin x)'=cos x D.(e')'=xe'- 3.已知f八x)=x3,若f(xo)=6,则xo= A.2 B.-2 C.±2 D.±1 4.曲线y=nx在x=2处的切线的斜率为 A.1 B.0 C.2 0. 5.已知函数f代x)=3sinx-4cosx,则曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=0 C.y=-4 D.y=-4x+3 T 6若y=sim3,则y= B.、3 2 C.0 7线=-1在点1， 处切线的倾斜角为 A.309 B.450 C.1350 459 8.已知函数(x)的图象如图所示，则 y↑ 5 2 012345 A.0<f(2)<F(3)<f3)-f2) B.0<f(3)<f3)-f2)<f(2) C.0<f(3)<f(2)<f3)-f(2) D.0<f3)-f八2)<f(2)<f(3) 9.若y=x2-1,则y'= 10.已知函数y=x3-2x+5,则y'三 11.已知函数f八x)=x3,则曲线y=f八x)在点(1,1)处的切线方程为 62A晶.当 9.【解析】(1)显然a≠0.函数f代x)图象的对称轴是直线x=1. ①当a>0时八x)在[-1,1】上单调递减，在(1,2]上单调递增， 放)=八-1)三3+6+25解得{6=。不合题意 /x)m=1)=-a+b+2=L, ②当a<0时