3.3 二次函数的图象和性质-2023版湖南省高职单招考试数学复习教材

3.3二次函数的图象和性质 知识导图 一次函救的定义 次的效=4年的图象和件质 ☒刻 次晰数的 二次函数1=xbx1的贸象和性质 二次数图架的顺点、利称轴 图象和质 地物线=n.+6r+c巾a.b,c的日 几种特床的次函数作图象持红 刀背定系数法求二次以数的解析式 二次晰数网象与性质的应用 要点扫描 1.二次函数的定义 一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y=ax2的图象和性质 (1)二次函数y=ax2的图象是顶点为坐标原点，对称轴为y轴的抛物线。 (2)二次函数y=ax2的图象与a的符号的关系如下： ①a>0一抛物线开口向上台顶点为其最低点： ②a<0白抛物线开口向下台顶点为其最高点 (3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax2(a≠0). 3.二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 (1)图象 二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴（包括与y轴重合）的抛物线. (2)二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标，对称轴 ++4c- ①y=ar2+bx+c=ax+2a 4,其图象的顶点坐标是（一么4如c 2a4a ”),对称轴是直线 t、6 Γ2a ②运用配方的方法，将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到二次函数图象的顶点坐标 为(h,k),对称轴是直线x=h. (3)抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用 ①a决定抛物线的开口方向及开口大小 ②6和口共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y=x+x+c的对称轴是直线x=-6,故b=0 2a 时，对称轴为y轴：6>0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧：<0（即4，b异号）时，对称轴在y轴右侧。 55 ③c的大小决定抛物线y=a.x2+bx+c与y轴交点的位置.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个 交点(0，c).当e=0时，抛物线经过原点：当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴：当c<0时，抛物线与y轴交 于负半轴. 4.几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax? 直线x=0(y轴) (0.0) y ax 直线x=0(y轴) (0,k) y a(x-h) 当a>0时，开口向上： 直线x=h (h.0) 当a<0时，开口向下 y=a(x-)2+k 直线x=h (h.k) y ax'+bx+c 直线x=- b 4ac-b2 2a (- 2a' 4a 5.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般步骤：设二次函数的解析式→列出含参数的方程（组）→解方程（组）→写出解析式 (2)已知抛物线上三点或三对(x,y)的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c(a≠0)： 已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)： 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1,x2,通常选用交点式y=a(x-x,)(x-x2)(a≠0). 6.二次函数图象与性质的应用 (1)利用二次函数的图象研究其开口方向、对称轴方程、顶点坐标、单调性，最值及图象的平移变化： (2)利用二次函数的图象求解方程（组）、解析式和解决实际问题，体现数形结合思想， 考点突破 题型一：二次函数的图象与性质 例 在同一坐标系内，函数y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象可能是 解析 若a>0,b<0,则抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴在y轴右侧，此时直线y=ax+b经 过第一、三、四象限，故排除A,C 若a>0,b=0,则直线y=ax+b经过第一、三象限抛物线y=ax2+br+c开口向上，故排除D,故选B. 答案B 题型二：二次函数图象与性质的应用 例2 已知函数f八x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式八x)<c的解集为 (m,m+4),则实数c的值为 A.9 B.8 C.6 D.4 56 解析由题意得f(x)=x'+ax+b(a，bεR)的值域为[0，+α)， ：“4“=0，即b=” ∵f(x)<c的解集为(m，m＋4)， ∴方程f(x)-c=0的根为m，m+4，即方程x^2+ax+4-c=0的根为m，m+4， ∵(m+4-m)^2=(-a)^2-4(”-c)， ∴4c=16，即c=4. 答案ν 题型三：二次函数模型的实际应用 例3，某人用100万元进行投资，有两种投资方式，一种是投资某科技公司，其收益f(x)与投入的资金 x(单位；万元)之间的函数关系式为f(x)=2x(a为常数)，另一种是投资某生态环保公司，其收益g(x)与投 入的资金x(单位：万元）的算术平方根成正比。且各投资1万元时，投资科技公司和生态环保公司的收益分 别为0.18万元和0.36万元 （1)分别求f(x)，g(x)与投资