2.4 一元二次不等式-2023版湖南省高职单招考试数学复习教材

2.4一元二次不等式 知识导图 尤二次木等式的秋念 ·元次不等式 心次不箭式的股形式 元次不等式的样头 要点扫描 1.一元二次不等式的概念 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式 2.一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)，其中a≠0. 3.一元二次不等式的解法 (1)一元二次不等式与相应方程及函数问的关系 当a>0时，一元二次不等式对应一元二次方程ax2+x+c=0判别式4的不同情况，二次函数y=ax2+ bx+c的图象与x轴的位置关系有以下三种， 4>0 29 故可得到当a>0时，一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示： 解集 方程或不等式 4>0 4=0 4<0 ax +bx +e=0 x1,x2 0 ax+hx +e0 (-的，1)U(x1,+) (-,)U(xa,+0) R ax2+br+e≥0 (-∞，x1】U[名1，+) R R ax +bx te<0 (x12) 0 0 ax2+br+e≤0 [x2 0 (2)一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知，解一元二次不等式的基本步骤如下： ①判断二次项系数是否为正数，如果不是正数，将不等式两边同乘以-1： ②判断对应方程解的情况，如果有解，求出方程的解； ③根据上表写出一元二次不等式的解集， 考点突破 题型一：一元二次不等式的解法 例 求下列不等式的解集： (1)(x+4)(-x-1)<0: (2)-3x2+x>2: (3)4x2-4x+1>0: (4)-x2+5x+6≥0. 解析(1)不等式(x+4)(-x-1)<0可化为(x+4)(x+1)>0,解得x>-1或x<-4, .原不等式的解集为(-，-4)U(-1,+x) (2)不等式-3x2+x>2可化为3x2-x+2<0. 方程3x2-x+2=0的判别式4=1-4×3×2<0， ,原不等式的解集为⑦. (3)不等式4-4+1>0可化为(2-1)2>0，解得x≠ 2 原不等式的解集为(-，子U(分，+0) (4)不等式-x2+5x+6≥0可化为x2-5x-6≤0，即(x-6)(x+1)≤0.解得-1≤x≤6. ∴，原不等式的解集为[-1,6]. 例2 解不等式-3<4x-4x2≤0. 4x-4x2≤0， x≥1或x≤0， 解析 原不等式等价于4-4>-3 即1 -2 2 <x≤0或1≤x< 六原不等式的解集0小引 30 晶 题型二：一元二次不等式的应用 例3商场若将进价为每件8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现准备提高售价来增 加利润.已知这种商品售价每提高1元，每天的销售量就要减少10件.那么要保证每天销售该商品的利润在 320元以上，每件商品的售价可定为 () A.11元 B.16元 C.12-16元 D.13~15元 解析设商品的售价定为x元，则每天销售该商品的利润为(x-8)[100-10(x-10)], 由题意可得(x-8)[100-10(x-10)]>320, 整理得x2-28.x+192<0,即(x-12)(x-16)<0,解得12<x<16, 所以每件商品的售价可定为12~16元 答案c 例4 当x取何值时，√5x-6r-8有意义？ 解析要使5r2-6x-8有意义，则须使5x2-6x-8≥0. 因为不等式5x-6c-8≥0的二次项系数大于0，方程5x2-6c-8=0的解为无=2，，=-4 5 所以不等式5x-6x-8≥0的解集为x1x≥2或x≤-4 7, 所以当x≥2或x≤-4 时，√5x2-6x-8有意义. 例5 当m取何值时，方程mx2-(1-m)x+m=0(m∈R)有实根？ 解析 (1)当m=0时，x=0. (2)当m≠0时，由题意得方程mx2-(1-m)x+m=0对应的判别式△≥0，得(1-m)2-4m2≥0， 解得-1≤m≤3 1 且m≠0. 由(1)(2)知，满足要求的m的取值范围是 反馈演练 1.不等式1+5x-6x2>0的解集是 A.x1>1或x<- B.l- 6 6 C.|x1x>1或x<-3到 D.x1-3<x<2 2.已知集合A=-3,1,2,B=x∈N1x2-x-6≤01，则A∩B= A.11,2 B.-3,0,1.2 C.1-3,1,2,3 D.1-3,0,1,2,3 3.已知关于x的一元二次不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b,则a+b的值是() A.4 B.3 C.6 D.5 4.已知对任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立，则实数k的取值范围是 A.k>1 B.-1<k<1 C.k<-1 D.k>-1 31 晶A 5.解下列不等式： (1)x(7-x)≥12： (2)x2+x-6<0. 6.已知不等式ax