4.1 实数指数幂-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

4. 1　 实数指数幂 1. 根式 (1)n 次方根的概念 一般地,如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗),那么 b 叫做 a 的 n 次方根. (2)n 次方根的性质 ① 当 n是奇数时,正数的 n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数,这时,a的 n次 方根用符号 n a 表示. ② 当 n是偶数时,正数的 n次方根有两个,这两个数互为相反数,这时,a(a > 0) 的 n次方 根用符号 ± n a 表示,负数没有偶次方根. ③ 0 的任何次方根都是 0,记作n 0 = 0. (3)n 次根式的概念 式子 n a (n > 1,n ∈ N∗) 叫做 a 的 n 次根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 15 (4)n 次根式的性质 ①( n a ) n = a; ② 当 n 为奇数时, n an = a; ③ 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2. 分数指数幂 (1) 正数的正分数指数幂的意义是 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (2) 正数的负分数指数幂的意义是 a - mn = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 3. 实数指数幂的运算法则 (1)am·an = am+n; (2)(am) n = amn; (3)(ab) n = an·bn . 其中,m,n ∈ R,a > 0,b > 0. 题型一:实数指数幂的运算 下列运算一定正确的是 (　 　 ) A. ( - 3a) 3 = - 9a3 B. - a2·a3 = - a6 C. -( - 2a2) 3 = 8a6 D. a2 = a ( - 3a) 3 = - 27a3,故 A 错误; - a2·a3 = - a5,故 B 错误; -( - 2a2) 3 = - ( - 8)a2×3 = 8a6,故 C 正确; a2 =| a | ,故 D 错误. C 计算下列各式的值. (1)2 3 × 3 1. 5 × 6 12 ; (2) 2 1 4( ) 1 2 -( - 2 022) 0 - 3 3 8( ) - 23 + 1. 5 -2 . 25 (1) 原式 = 2 3 × 3 3 2 × 6 12 = 2 × 3 1 2 × 3 3 × 3 1 2 × 6 4 × 6 3 = 2 × 3 1 2 × 3 1 3 × 2 - 13 × 2 1 3 × 3 1 6 = 21 - 13 + 1 3 × 3 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6. (2) 原式 = 3 2( ) 2 é ë êê ù û úú 1 2 - 1 - 3 2( ) 3 é ë êê ù û úú - 23 + 3 2( ) -2 = 3 2 - 1 - 3 2( ) -2 + 3 2( ) -2 = 1 2 . 题型二:较复杂的指数运算问题 已知实数 a,b 满足 2a = 3b = 6,求 1 a + 1 b 的值. 由 2a = 3b = 6 得 a =log26,b =log36,则 1 a = 1 log26 =log62, 1 b = 1 log36 =log63, 所以 1 a + 1 b =log62 + log63 =log6(2 × 3) =log66 = 1. 1. 已知 (a - b) 2 = b - a,则 (　 　 ) A. a > b B. a ≥ b C. a < b D. a ≤ b 2. 1 2( ) -1 + 8 2 3 + (2 022) 0 = (　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 3 2 3. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　 　 ) A. - x = ( - x) 1 2 (x ≥ 0) B. 6 x2 = x 1 3 (x ≤ 0) C. x - 34 = 4 1 x( ) 3 (x > 0) D. x 1 3 = - 3 x (x ≠ 0) 4. 若 3x = a,5x = b,则 75x 等于 (　 　 ) A. ab2 B. a2b C. a2 + b D. a2 + b2 35 5. 有下列各式:①( - 2a) 4 = - 16a4;②a ÷ a 3 2 = a - 12 ;③a 3 4 ·a 4 3 = a;④ 4 a2 + b2 = a + b . 其中 正确式子的个数是 (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 式子 4 ( - 2) 4 + ( 3 - 2 ) 3 的值是 . 7. 设 x,y,z 为正数,且 3x = 9y = 81z,则x + z