3.5 函数的实际应用-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

3. 5　 函数的实际应用 建立函数模型解应用题的步骤如下: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:用数学方法将得到的结论还原到实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 84 题型一:二次函数模型的实际应用 某人用 100 万元进行投资,有两种投资方式, 一种是投资某科技公司, 其收益 f(x) 与投入的资金 x(单位:万元) 之间的函数关系式为 f(x) = a 2 x(a 为常数),另一种是投资 某生态环保公司,其收益 g(x) 与投入的资金 x(单位:万元) 的算术平方根成正比. 且各投资 1 万元时,投资科技公司和生态环保公司的收益分别为 0. 18 万元和 0. 36 万元. (1) 分别求 f(x),g(x) 与投资金额 x 的函数关系式; (2) 如何安排这 100 万元资金,才能使得总收益最大,最大收益是多少? (1) 由题意知 f(1) = a 2 = 0. 18, 所以 f(x) = 0. 18x(0 < x ≤ 100) . 设 g(x) = m x (m ≠ 0,m 为常数), 则 g(1) = m = 0. 36, 所以 g(x) = 0. 36 x (0 < x ≤ 100) . (2) 设投资生态环保公司的资金为 l 万元,则投资科技公司的资金为(100 - l) 万元,总收 益为 y(单位:万元) . 由题意得 y = 0. 18 × (100 - l) + 0. 36 l (0 < l ≤ 100) . 令 l = t,则 t ∈ (0,10],y = 18 - 0. 18t2 + 0. 36t = - 0. 18( t - 1) 2 + 18. 18. 当 t = 1,即 l = 1 时,总收益 y取得最大值,最大收益为 18. 18 万元,此时投资生态环保公司 1 万元,投资科技公司 99 万元. 题型二:分段函数模型的实际应用 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对 公司员工进行培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元 培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人 收取培训费 1 000 元;若参加培训的员工人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设 该公司参加培训的员工人数为 x,此次培训的总费用为 y 元. (1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. (1) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y = 400x + 1 000x = 1 400x; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = 400x + [1 000 - 20(x - 30)]·x = - 20x2 + 2 000x. 故 y = 1 400x,0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N, - 20x2 + 2 000x,30 < x ≤ 60,x ∈ N.{ 94 (2) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y ≤ 1 400 × 30 = 42 000,x = 30 时等号成立; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = - 20(x - 50) 2 + 50 000 ≤ 50 000,x = 50 时等号成立. 综上,该公司此次培训的总费用最多需要 50 000 元. 1. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售 x 辆该品牌车的利润(单位:万元) 分别为 L1 = - x2 + 21x 和 L2 = 2x. 若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为 (　 　 ) A. 90 万元 B. 60 万元 C. 120 万元 D. 120. 25 万元 2. 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间 x(单位: 分) 与相应话费 y(单位:元) 之间的函数图象如图所示. (1) 月通话时间为 50 分钟时,应交话费多少元? (2) 求 y 与 x 之间的函数关系式. 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线AB与 x轴、y轴分别交于A(6,0),B(0,3) 两点,点C为线段 AB 上的一个动点(点 C不与点 A,B重合) . 过点 C作 CD ⊥ x轴于点 D,作 CE ⊥ y轴于点 E, 求四边形 OECD 的最大面积,并求此时点 C 的坐标. 05 兰晶 ②当a<0时f孔x)在[-1,1门上单调递增，在(1,2]上单调递减， f(x)m=f1)=-a+b+2=5