3.3 函数的奇偶性-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

3. 3　 函数的奇偶性 1. 对称点的坐标特征 一般地,设点 P(a,b) 为平面内的任意一点,则 (1) 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为(a, - b); (2) 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为( - a,b); (3) 点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为( - a, - b) . 2. 函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x, 都有 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域 内任意一个 x,都有 f( - x) = - f(x),那 么函数 f(x) 就叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 　 　 (2) 奇函数、偶函数的图象特征 ① 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若 一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 04 ② 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个 函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. (3) 函数的奇偶性 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就说这个函数具有奇偶性. 3. 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 当 b = 0 时是奇函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时是偶函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 4. 奇函数、偶函数的单调性 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上 有相反的单调性. (2) 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值,取最值时的自变量互为相反 数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 5. 非奇非偶函数 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 题型一:判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) = - 2x;　 (2) f(x) = x4 - 2x2 . (1) 函数 f(x) = - 2x 的定义域为 R,关于原点对称. 又 f( - x) = - 2( - x) = 2x = - f(x), ∴ f(x) = - 2x 为奇函数. (2) f(x) = x4 - 2x2 的定义域为 R,关于原点对称. 又 f( - x) = ( - x) 4 - 2( - x) 2 = x4 - 2x2 = f(x), ∴ f(x) = x4 - 2x2 是偶函数. 题型二:函数奇偶性的应用 已知 f(x) = ax2 - bx + 1 是定义域为[a,a + 1] 的偶函数,则 a + ab = (　 　 ) A. 0 B. 3 4 C. - 1 2 D. 1 2 14 ∵ f(x) 在[a,a + 1] 上是偶函数, ∴ - a = a + 1,即 a = - 1 2 , ∴ f(x) 的定义域为[ - 1 2 , 1 2 ], ∴ f(x) = - 1 2 x2 - bx + 1. ∵ f(x) 在[ - 1 2 , 1 2 ] 上是偶函数, ∴ f( - 1 2 ) = f 1 2( ) ,将其代入 f(x) 的解析式可得 b = 0, ∴ a + ab = - 1 2 + 1 = 1 2 . D 已知奇函数 f(x) 在区间[ - 5, - 2] 上的最大值为 f( - 2) = 2 ,则 f(x) 在[2,5] 上的最小值是 . 易知 x ∈ [ - 5, - 2] 时,f(x) ≤ 2 ,此时 - x ∈ [2,5] . ∵ f(x) 为奇函数, ∴ f(x) = - f( - x), ∴ 当 - x ∈ [2,5] 时, - f( - x) ≤ 2 , ∴ f( - x) ≥- 2 , ∴ f(x) 在[2,5] 上的最小值是 - 2 . - 2 1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0, + ∞ ) 上单调递增的是 (　 　 ) A. y = 1 x B. y =| x | C. y = e -x D. y = log2x 2. 若偶函数 f(x) 在( - ∞ , - 1] 上单调递增,则 (　 　 ) A. f( - 3 2 ) < f( - 1) < f(2) B. f( - 1) < f( - 3 2 ) < f(2) C. f(2) < f( - 1) < f( - 3 2 ) D. f(2) < f( - 3 2 )