2.2 一元二次不等式及分式不等式-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式及分式不等式 1. 一元二次不等式 (1) 一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式. (2) 一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠ 0. (3) 一元二次不等式的解法 ① 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0判别式Δ的不同情况,二次函 02 数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. Δ > 0　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Δ = 0　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Δ < 0 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1 ,x2 } {x0 } ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c ≥ 0 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c < 0 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤ 0 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 　 　 ② 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: (ⅰ) 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; (ⅱ) 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; (ⅲ) 根据上表写出一元二次不等式的解集. 2. 分式不等式 (1) 分式不等式的定义 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式. (2) 分式不等式的一般形式 ax + b cx + d > 0(cx + d ≠ 0) . (3) 分式不等式的解法 ① ax + b cx + d > 0⇔(ax + b)(cx + d) > 0; ② ax + b cx + d ≥ 0⇔ (ax + b)(cx + d) ≥ 0, cx + d ≠ 0;{ ③ ax + b cx + d < 0⇔(ax + b)(cx + d) < 0; ④ ax + b cx + d ≤ 0⇔ (ax + b)(cx + d) ≤ 0, cx + d ≠ 0.{ 12 题型一:一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集: (1)(x + 4)( - x - 1) < 0; (2) - 3x2 + x > 2. (1) 不等式(x + 4)(- x - 1) < 0 可化为(x + 4)(x + 1) > 0,解得 x > - 1 或 x < - 4, ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , - 4) ∪ ( - 1, + ∞ ) . (2) 不等式 - 3x2 + x > 2 可化为 3x2 - x + 2 < 0. ∵ 方程 3x2 - x + 2 = 0 对应的判别式 Δ = 1 - 4 × 3 × 2 < 0, ∴ 原不等式的解集为 ⌀. 题型二:分式不等式的解法 不等式 x - 1 x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1] ∪ (3, + ∞ ) C. [1,3) D. [1,3] 由 x - 1 x - 3 ≤ 0 得 (x - 1)(x - 3) ≤ 0, x - 3 ≠ 0,{ 解得 1 ≤ x < 3, 故原不等式的解集为[1,3) . C 题型三:一元二次不等式的应用 当 x 取何值时, 5x2 - 6x - 8 有意义? 要使 5x2 - 6x - 8 有意义,须 5x2 - 6x - 8 ≥ 0. 因为不等式 5x2 - 6x - 8 ≥ 0 的二次项系数大于 0,方程 5x2 - 6x - 8 = 0 的两个解为 x1 = 2,x2 = - 4 5 , 所以不等式 5x2 - 6x - 8 ≥ 0 的解集为{x | x ≥ 2 或 x ≤- 4 5 }, 所以当 x ≥ 2 或 x ≤- 4 5 时, 5x2 - 6x - 8 有意义. 22 当 m 取何值时,方程 mx2 - (1 - m)x + m = 0(m ∈ R) 有实根? (1) 当 m = 0 时,x = 0. (2) 当m≠ 0时,由方程mx2 - (1 - m)x + m = 0对应的判别式Δ≥ 0,得(1 - m) 2 - 4m2 ≥ 0,解得- 1 ≤ m ≤ 1 3 且 m ≠