1.4 充要条件-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

1. 4　 充 要 条 件 1. 命题 概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句叫做真 命题,判断为假的语句叫做假命题 特点 (1) 能判断真假;(2) 陈述句 分类 真命题、假命题 2. 充分条件与必要条件 “如果 p,则 q” 是真命题时,我们就说由 p 可推出 q,称 p 是 q 的充分条件,或 q 是 p 的必要 条件,记作 p⇒q. 3. 充要条件 如果 p是 q的充分条件(p⇒q),p又是 q的必要条件(q⇒p),则称 p是 q的充分且必要条件, 简称充要条件,记作 p⇔q. 也常说 p 与 q 等价. 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 4. 既不充分也不必要条件 如果 p不是 q的充分条件(p⇒/ q),p也不是 q的必要条件(q⇒/ p),则称 p为 q的既不充分也 不必要条件. 21 题型:充分条件、必要条件、充要条件的判定 用“充分条件”“必要条件” 或“充要条件” 填空. (1)“x 是实数” 是“x 是有理数” 的 ; (2)“A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的 . (1)∵ x 是有理数必然也是实数,但 x 是实数不一定是有理数, ∴ “x 是实数” 是“x 是有理数” 的必要条件. (2)∵ A ⊆ B⇔A ∩ B = A, ∴ “A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的充要条件. (1) 必要条件 　 (2) 充要条件 已知 p:“实数 x满足不等式 x2 - 15x + 54 < 0”;q:“实数 x满足不等式 x2 - 3kx + 2k2 ≤ 0,其中实数k > 0” . 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 k 的取值范围. 由 x2 - 15x + 54 < 0 得(x - 6)(x - 9) < 0,解得 6 < x < 9. 由 x2 - 3kx + 2k2 ≤ 0 得(x - k)(x - 2k) ≤ 0. 因为 k > 0, 所以 k ≤ x ≤ 2k. 设 A = {x | 6 < x < 9},B = {x | k ≤ x ≤ 2k} . 因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以 A ⫋ B, 所以 k ≤ 6, 2k ≥ 9,{ 所以 9 2 ≤ k ≤ 6. 故实数 k 的取值范围是{k | 9 2 ≤ k ≤ 6} . 1. “ln(x + 2) < 0” 是“x < 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 31 2. 设 x > 0,y ∈ R,则“x > y” 是“x > y ” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “α = 45°” 是“sin α = 2 2 ” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量 a = (x - 1,2),b = (2,1),则“a ⊥ b” 的充要条件是 (　 　 ) A. x = - 1 2 B. x = - 1 C. x = 5 D. x = 0 5. 已知直线 l 和平面 α,则“直线 l 平行平面 α 内无数条直线” 是“ l ∥ α” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “b - a = c - b” 是“a,b,c 成等差数列” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在 △ABC 中,“cos A < cos B” 是“A > B” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设 p:2x ≤ 4,q:x2 < 4,则 p 是 q 成立的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 命题“2x2 - 5x - 3 < 0” 的一个必要不充分条件是 (　 　 ) A. - 1 2 < x < 3 B. - 1 2 < x < 4 C. - 3 < x < 1 2 D. - 1 < x < 2 10. 设集合 M = {x | x > 2},P = {x | x < 3},那么“x ∈ M 或 x ∈ P” 是“x ∈ (P ∩ M)” 的 条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 或“既不充分也不必要”) 11. 已知 p: - 1 < x < 3,q: - a < x - 1 < a(a >