1.2 集合间的基本关系-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 1. 子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中的 元素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合 B是集合 A的子集,并且 A 中至少有一个元素不属于 B,那么 把 B 叫做 A 的真子集 如果两个集合的元素 完全相同,那么就说这 两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任何一个集合是它本身的子集; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⊆ B,且 B ⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B,那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B, 且B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元 素完全相同 5 2. 空集 (1) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集; ② 空集是任何非空集合的真子集; ③ 空集只有一个子集,即它本身. (2)⌀,0,{0} 与{⌀} 之间的关系 ⌀ 与 0 ⌀ 与{0} ⌀ 与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是集合;0 是实数 ⌀ 不含任何元素;{0} 含一 个元素 0 ⌀ 不含任何元素;{⌀} 含一个元素,该元素 是 ⌀ 关系 0 ∉ ⌀ ⌀ ⫋ {0} ⌀ ⫋ {⌀} 或 ⌀ ∈ {⌀} 题型一:集合间关系的判断 已知集合 A = {0,3},B = {x | x(x - a) = 0},若 A = B,则 a 的值为 (　 　 ) A. 0 B. 3 C. - 3 D. 0 或 3 ∵ A = B,A = {0,3},B = {x | x(x - a) = 0} = {0,a}, ∴ a = 3. B 下列四个式子中,正确的个数是 (　 　 ) ①{0} ∈ {0,1,2};②2 ⊆ {1,2,3};③∅ ⊆ {0,1,2};④∅ = {0} . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 {0},{0,1,2} 是集合,集合与集合的关系不能用“∈” 表示,故 ① 错误; 2 是元素,{1,2,3} 是集合,元素与集合的关系只能用“∈”“∉” 表示,故 ② 错误; 空集是任何集合的子集,故 ③ 正确; 空集没有任何元素,而集合{0} 含有元素 0,故 ④ 错误. A 6 题型二:确定集合的子集、真子集 已知集合 A = {0,x},B = {0,2,4},若 A ⊆ B,则实数 x 的值为 (　 　 ) A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 ∵ A = {0,x},B = {0,2,4},A ⊆ B, ∴ x 的值为 2 或 4. C 已知{a,b} ⊆ A ⫋ {a,b,c,d,e},求满足条件的集合 A 的个数. ∵ {a,b} ⊆ A, ∴ A 中必有元素 a,b. ∵ A 是{a,b,c,d,e} 的真子集, ∴ A 中元素除 a,b 外,还必须在 c,d,e 三个元素中任取 0 个或 1 个或 2 个, ∴ 满足条件的集合 A 为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a, b,d,e}, ∴ 满足条件的集合 A 共有 7 个. 1. 下列关系式正确的是 (　 　 ) A. π ∈ Q B. {(0,1)} ⊆ {0,1} C. ⌀ ∈ {⌀} D. {2} ∈ {1,2} 2. 设集合 A = {0,1},B = {x | x ∈ A},则集合 A,B 的关系是 (　 　 ) A. A ⫋ B B. B ⫋ A C. A = B D. A ∈ B 3. 集合 A = {x | - 1 < x < 3,x ∈ N∗} 的非空子集个数为 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 4. 已知集合 M = {x | x2 = 1},N 为自然数集,则下列表示不正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ M B. M = { - 1,1} C. ⌀ ⊆ M D. M ⊆ N 5. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x ≤ 5},B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1},若 B ⊆ A,则实数 m的取值 范围为 (　 　 ) A. [2,3] B. ( - ∞ ,2] C. ( - ∞ , - 3] ∪ [3, + ∞ ) D. ( - ∞ ,3] 6. 设集合 A = {x | - 1 < x < 4},B = {x | x > m},且