1.1 集合的含义与表示-2023版河北省高职单招考试数学复习教材

1. 1　 集合的含义与表示 1. 集合与元素 (1) 集合与元素的含义 把某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合,通常用大写英文字母 A,B,C,… 表示 集合. 集合也简称集. 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素,通常用小写英文字母 a,b,c,… 表示集合 中的元素. (2) 元素与集合的关系 关系 概念 符号 读法 属于 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A a ∈ A a 属于集合 A 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A a ∉ A a 不属于集合 A 1 　 　 (3) 集合中元素的特性 ① 确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象或者是这个集合中的元素,或者不是它的 元素,这是集合中元素的最基本特性. ② 互异性:集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同的),相同的对象归入任何 一个集合时,只能算作这个集合的一个元素. ③ 无序性:在一个集合中,通常不考虑它的元素之间的顺序,如:{a,b,c} = {b,c,a} . (4) 集合的分类 有限集:含有有限个元素的集合. 无限集:含有无限个元素的集合. 2. 集合的表示方法 (1) 常用数集及其记法 由数组成的集合叫做数集. 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗ 或 N + Z Q R 　 　 (2) 空集 不含任何元素的集合叫做空集,记作 ⌀. (3) 集合表示的基本方法 ① 列举法 当集合中的元素不多时,常常把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示这个集 合,这种表示集合的方法叫做列举法. ② 性质描述法 给定 x的取值集合 I,如果属于集合 A的任一元素 x都具有性质 p( x) ,而不属于集合 A 的元素都不具有性质 p( x) ,则性质 p( x) 叫做集合 A的特征性质 . 于是,集合 A可用它的特 征性质 p( x) 描述为{ x ∈ I | p( x) } . 它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p( x) 的所有元 素构成的 . 这种表示集合的方法称为性质描述法. 题型一:集合的概念 下列各组对象能构成集合的是 (　 　 ) A. 接近 5 的所有实数 B. 本校全体男生 C. 著名的数学家 D. 1,2,3,3,4,4,4,4 2 选项 A,C 不满足集合中元素的确定性,选项 D 不满足集合中元素的互异性,故选 项 A,C,D 不能构成集合. 选项 B 中元素的归属是确定的,故选项 B 能构成集合. B 题型二:元素与集合的关系 已知集合 A = {x ∈ N | - 1 < x < 3},则下列关系正确的是 (　 　 ) A. 1 ∉ A B. 2 ∉ A C. 3 ∈ A D. 4 ∉ A ∵ A = {x ∈ N | - 1 < x < 3} = {0,1,2}, ∴ 1 ∈ A,2 ∈ A,3 ∉ A,4 ∉ A. D 题型三:集合中元素的特征 已知 A = {a + 2,(a + 1) 2,a2 + 3a + 3},且 1 ∈ A,求实数 a 的值. 由 a + 2 = 1 或(a + 1) 2 = 1 或 a2 + 3a + 3 = 1 得 a = - 1 或 a = - 2 或 a = 0. 当 a = - 1 时,a + 2 = a2 + 3a + 3 = 1,不符合题意. 当 a = - 2 时,(a + 1) 2 = a2 + 3a + 3 = 1,不符合题意. 当 a = 0 时,a + 2 = 2,(a + 1) 2 = 1,a2 + 3a + 3 = 3,符合题意. 故实数 a 的值为 0. 对此类题,在求出 a 的多个值后,一定要代入检验,判断是否满足集合中元素的互 异性. 题型四:集合的表示方法 用列举法表示下列集合. (1) 平方等于 1 的全体实数; (2) 一年中有 31 天的月份的全体. (1)∵ - 1,1 的平方等于 1, ∴ 平方等于 1 的全体实数的集合可表示为{ - 1,1} . (2)∵ 一年中 1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月分别有 31 天, ∴ 一年中有 31 天的月份的全体的集合可表示为{1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月} . 用性质描述法表示集合时,集合表示的意义取决于它的“代表” 元素. 如: A = {x | y = x - 2 } 表示函数 y = x - 2 的定义域. 3 B = {y | y = x - 2 } 表示函数 y = x - 2 的值域. C = {(x,y) | y = x - 2 } 表示点集或解集. 1. 给出下列 5 组对象: ①高一个子高的学生;②数学辅导书中的所有难题;③所有偶数;④平面上到定点O的