4.2 幂函数-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

4. 2　 幂 　 函 　 数 74 1.幂函数的定义 一般地,形如 y = xα(α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,底数的系数为 1,指数 α 为常数. 2.幂函数的图象与性质 (1) 幂函数的图象 ① 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限 内,要看函数的奇偶性. ② 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内. ③ 如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (2) 幂函数的性质 ① 所有幂函数在(0, + ∞ ) 都有定义,并且图象都经过点(1,1) . ② 当 α > 0 时,幂函的图象经过原点,并且在区间[0, + ∞ ) 上是增函数. ③ 当 α < 0 时,幂函数在区间(0, + ∞ ) 上是减函数. 在第一象限内,当 x从右边趋向原点时,图象在 y轴 右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 + ∞ 时,图象在 x 轴上方无限逼近 x 轴正半轴. ④ 当 α = 0 时,函数 y = x0 的图象是直线 y = 1 去掉点(0,1) . 3.常见的 5 种幂函数的图象 4.常见的 5 种幂函数的性质 解析式 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞ ) R [0, + ∞ ) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在( - ∞ ,0) 上减, 在(0, + ∞ ) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 84 题型一:幂函数的概念 下列函数是幂函数的是 (　 　 ) A. y = 2x B. y = x2 - 1 C. y = x3 D. y = 2x 形如 y = xα(α ∈ R) 的函数为幂函数,则 y = x3 为幂函数. C 已知函数 f(x) = (m2 - m - 5)xm-1 是幂函数,则 m 的值为 (　 　 ) A. - 2 B. 3 C. - 2 或 3 D. 2 或 3 由幂函数的定义得 m2 - m - 5 = 1,解得 m =- 2 或 m = 3. C (多选) 已知函数 f(x) = xα 的图象经过点(4,2),则 (　 　 ) A. 函数 f(x) 为增函数 B. 函数 f(x) 为偶函数 C. 当 x > 1 时,f(x) > 1 D. 函数 f(x) 是非奇非偶函数 函数 f(x) = xα 的图象经过点(4,2),则 2 = 4α,解得 α = 1 2 , 故函数 f(x) = x . 由幂函数的性质可知函数 f(x) 为增函数,故 A 正确; 易知 f(x) 是非奇非偶函数,故 B 错误,D 正确; 当 x > 1 时,f(x) > f(1) = 1,故 C 正确. ACD 题型二:幂函数的图象 (多选) 下列关于幂函数的性质描述正确的是 (　 　 ) A. 幂函数的图象必过点(0,0) 和(1,1) B. 幂函数的图象不可能过第四象限 C. 当 α = - 1, 1 2 ,3 时,幂函数 y = xα 是奇函数 D. 当 α = 1 2 ,3 时,幂函数 y = xα 是增函数 幂函数的图象必过点(1,1),但不一定过(0,0),例如 y = x -1,故 A 错误; 幂函数的图象不可能过第四象限,故 B 正确; 当 α = 1 2 时,易知幂函数 y = x 不是奇函数,故 C 错误; 当 α = 1 2 ,3 时,幂函数 y = x ,y = x3 均是增函数,故 D 正确. BD 94 图中的曲线是幂函数 y = xa 在第一象限的图象,已知 a ∈ { - 2, - 1 2 , 1 2 ,2},则对应于曲线 C1, C2,C3,C4 的 a 值分别为 (　 　 ) A. - 2, - 1 2 , 1 2 ,2 B. 2, 1 2 , - 1 2 , - 2 C. - 1 2 , - 2,2, 1 2 D. 2, 1 2 , - 2, - 1 2 由曲线 C1,C2 表示的幂函数为增函数,C3,C4 表示的幂函数为减函数,可排除 A,C. 令 x = 2,则 x - 12 = 2 2 ,x -2 = 1 4 . 由 2 2 > 1 4 得 C3,C4 对应的 a 值分别为 - 1 2 , - 2,故选 B. B 题型三:幂函数单调性、奇偶性的判断和应用 已知幂函数 f(x) = (m2 - m - 1)xm 在(0, + ∞ ) 上是增函数,则实数 m 的值为 (　 　 ) A. 2 B. - 1 C. - 1 或 2 D. 1 2 因为幂函数 f(x) = (m