4.1 实数指数幂-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

4. 1　 实数指数幂 1.根式 (1)n 次方根的概念 一般地,如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗),那么 b 叫做 a 的 n 次方根. (2)n 次方根的性质 ① 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ② 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数,记为 ± n a ,负数没有偶次方根. ③0 的任何次方根都是 0,记作n 0 = 0. (3)n 次根式的概念 式子 n a (n > 1,n ∈ N∗) 叫做 a 的 n 次根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (4)n 次根式的性质 ①( n a ) n = a; ② 当 n 为奇数时, n an = a. ③ 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 2.分数指数幂 (1) 正数的正分数指数幂的意义是:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . 34 (2) 正数的负分数指数幂的意义是:a - mn = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且 n > 1) . (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算法则 (1)am·an = am+n; (2)(am) n = amn; (3)(ab) n = an·bn . 其中,m,n ∈ R,a > 0,b > 0. 题型一:实数指数幂的运算 化简: (π - 4) 2 + 3 (π - 4) 3 = (　 　 ) A. 0 B. 2π - 8 C. 2π - 8 或 0 D. 8 - 2π 因为 π < 4, 所以 π - 4 < 0, 故 (π - 4) 2 + 3 (π - 4) 3 =| π - 4 | + π - 4 = 4 - π + π - 4 = 0. A (多选) 下列运算结果正确的是 (　 　 ) A. ( - 3a) 3 = - 9a3 B. - a2·a3 = - a6 C. -( - 2a2) 3 = 8a6 D. 3a + 2a = 5a ( - 3a) 3 = - 27a3,故 A 错误. - a2·a3 = - a5,故 B 错误. - ( - 2a2) 3 = - ( - 8)a2×3 = 8a6,故 C 正确. 3a + 2a = (3 + 2)a = 5a,故 D 正确. CD 下列各式正确的是 (　 　 ) A. a2 = a B. 3 ( - 3) 3 = - 3 C. ( - 2) 4 = - 4 D. - 3 ( - a) 3 = - a 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0,{ 可知 a 2 =| a | , ( - 2) 4 = 4,故 A,C 错误; 当 n 为奇数时, n an = a,所以 3 ( - 3) 3 = - 3, - 3 ( - a) 3 = - ( - a) = a,故 B 正确,D 错误. B 3 3 × 3 3 × 6 3 = (　 　 ) A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 44 3 3 × 3 3 × 6 3 = 3 ×3 1 2 ×3 1 3 ×3 1 6 =31 + 12 + 1 3 + 1 6 =32 = 9. B (多选) 下列各式的值相等的是 (　 　 ) A. ( - 1) 1 3 和 6 ( - 1) 2 B. 3 34 和 1 3 - 43 C. 2 和 4 1 4 D. 4 - 32 和 1 2( ) -3 ( - 1) 1 3 = 3 - 1 = - 1, 6 ( - 1) 2 = 1,故 A 不符合题意; 1 3 - 43 = 3 4 3 = 3 34 ,故 B 符合题意; 4 1 4 =(22) 1 4 = 2 1 2 = 2 ,故 C 符合题意; 4 - 32 = 1 4 3 2 = 1 23 = 1 8 , 1 2( ) -3 = 23 = 8,故 D 不符合题意. BC 题型二:较复杂的指数运算问题 已知 a = 2,b =16 2 3 ,c = 5 4 3 ,则 (　 　 ) A. b < c < a B. c < b < a C. b < a < c D. a < b < c 易得 a = 2 = (2 3 4 ) 4 3 = ( 4 8 ) 4 3 ,b =16 2 3 = 4 4 3 ,c = 5 4 3 . ∵ 4 8 < 4 < 5, ∴ ( 4 8 ) 4 3 < 4 4 3 < 5 4 3 , ∴ a < b < c. D (多选) 已知 a + a -1 = 3,且 a > 1,则下列选