3.5 反函数-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

3. 5　 反 　 函 　 数 1.反函数的定义 设函数 y = f(x) 的定义域是 D,值域 f(D),如果对于值域 f(D) 中的每一个 y,在 D 中有且只有一个 x 使 得 g(y) = x,则按此对应法则得到了一个定义在 f(D) 上的函数,并把该函数称为函数 y = f(x) 的反函数,记 为 x = f -1(y),y ∈ f(D) . 习惯上我们用 x 来表示自变量,用 y 来表示因变量,于是函数 y = f(x) 的反函数通常写成 y = f -1(x) . 2.反函数的性质 (1) 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称. (2) 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致. (3) 函数的定义域是其反函数的值域;函数的值域是其反函数的定义域. 题型一:求反函数解析式 函数 y =log3x 的反函数是 (　 　 ) A. y = 3x B. y = x3 C. y = ( 1 3 ) x D. y =log 1 3 x 由 y =log3x,得 x = 3y, 所以函数 y =log3x 的反函数为 y = 3x . A 04 y = 3x 与 y =log3x 的图象关于 (　 　 ) A. x 轴对称 B. 直线 y = x 对称 C. 原点对称 D. y 轴对称 因为函数 y = 3x 与 y =log3x 互为反函数, 所以它们的图象关于直线 y = x 对称. B 题型二:反函数性质的应用 若 f(x) = 2x + 3(x ∈ R),则 y = f -1(x) 的定义域是 (　 　 ) A. R B. (5, + ∞ ) C. (3, + ∞ ) D. (0, + ∞ ) 因为 2x > 0, 所以 2x + 3 > 3, 所以 f(x) = 2x + 3(x ∈ R) 的值域为(3, + ∞ ), 所以 y = f -1(x) 的定义域为(3, + ∞ ), C 已知函数 y = f(x) 是函数 y =10x 的反函数,则 f(10) = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 10 D. 1010 由 y =10x,得 x = lg y, 所以函数 y =10x 的反函数为 f(x) = lg x, 所以 f(10) = lg 10 = 1. A 已知函数 f(x) = 2 x - 1 ,则 f -1(3) = (　 　 ) A. 1 B. 5 3 C. 3 5 D. - 1 令 3 = 2 x - 1 ,得 x = 5 3 . 因为函数 f(x) 与 f -1(x) 互为反函数, 所以 f -1(3) = 5 3 . B 14 1. 函数 y = x - 1 的反函数的解析式是 (　 　 ) A. y = x - 1 B. y = x + 1 C. y = x - 2 D. y = x + 2 2. 函数 y = log2x 的反函数的解析式是 (　 　 ) A. y = log3x B. y = 3x C. y = log2x D. y = 2x 3. 已知函数 f(x) = 2x 的反函数为 f -1(x),则 f -1(2) = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数 f(x) = 4x 的图象与函数 g(x) 的图象关于 y = x 对称,则 g(1) = (　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 已知 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增,则 f -1(x) 在(0, + ∞ ) 上 (　 　 ) A. 单调递减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 先增后减 6. 设函数 y = f(x) 的反函数为 y = f -1(x),若 f(x) = 2x,则 f -1 1 2( ) 的值为 (　 　 ) A. 2 B. 1 C. 1 2 D. - 1 7. 若函数 y = f(x) 的图象与函数 y = x 的图象关于直线 y = x 对称,则 f(x) = (　 　 ) A. x B. x2 C. x - 1 D. y2 8. 已知函数 f(x) = 2x+3,f -1(x) 是 f(x) 的反函数,若 mn = 16(m,n ∈ R + ),则 f -1(m) + f -1(n) = (　 　 ) A. - 2 B. 1 C. 4 D. 10 9. 设函数 f(x) = 1 1 - x (0 ≤ x < 1) 的反函数为 f -1(x),则 (　 　 ) A. f -1(x) 在其定义域上是增函数且最大值为 1 B. f -1(x) 在其定义域上是减函数且最小值为 0 C. f -1(x) 在其定义域上是减函数且最大值为 1 D. f -1(x) 在其定义域上是增函数且最小值为 0 24 13