3.4 二次函数的图象和性质-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

3. 4　 二次函数的图象和性质 1.二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1) 图象 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是对称轴平行于 y 轴(包括与 y 轴重合) 的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的顶点坐标、对称轴 ①y = ax2 + bx + c = a x + b 2a( ) 2 + 4ac - b 2 4a ,其图象的顶点坐标是( - b 2a ,4ac - b2 4a ),对称轴是直线 x = - b 2a . ② 运用配方的方法,将二次函数的解析式化为 y = a(x - h) 2 + k的形式,得到二次函数图象的顶点坐标 为(h,k),对称轴是直线 x = h. (3) 抛物线 y = ax2 + bx + c 中 a,b,c 的作用 ①a 决定抛物线的开口方向. a > 0⇔ 抛物线开口向上;a < 0⇔ 抛物线开口向下. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b 2a ,故当 b = 0 时,对称轴为 y轴;当 b a > 0(即 a,b同号) 时,对称轴在 y轴左侧;当 b a < 0(即 a,b异号) 时,对称轴在 y轴 右侧. 63 ③c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴交点的位置. 抛物线 y = ax2 + bx + c与 y 轴有且只有一个 交点(0,c) . 当 c = 0 时,抛物线经过原点;当 c > 0 时,抛物线与 y轴交于正半轴;当 c < 0 时,抛物线与 y轴交 于负半轴. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般步骤:设二次函数的解析式 → 列出含参数的方程(组) → 解方程(组) → 还原写出解析式. (2) 已知抛物线上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0); 已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程,通常选择顶点式 y = a(x - h) 2 + k(a ≠ 0); 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标 x1,x2,通常选用交点式 y = a(x - x1)(x - x2)(a ≠ 0) . 4.二次函数图象与性质的应用 (1) 利用二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值及图象的平移变化; (2) 利用二次函数的图象求解方程、解析式,体现数形结合思想. 题型一:二次函数的图象与性质 在同一坐标系内,函数 y = ax + b 和 y = ax2 + bx + c 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 假设 a < 0,b > 0,则直线 y = ax + b 一定经过第一、二、四象限,二次函数 y = ax2 + bx + c 图象 的开口向下,故 A 错; 假设 a > 0,b < 0,则直线 y = ax + b一定经过第一、三、四象限,二次函数 y = ax2 + bx + c的图象是以直 线 x = - b 2a > 0 为对称轴,且开口向上的抛物线,故 B 正确; 假设 a > 0,b > 0,则直线 y = ax + b 不经过第四象限,二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的对称轴,即直线 x = - b 2a < 0,即对称轴在 y 轴的左侧,故 C 错; 假设 a > 0,b = 0,则二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的对称轴,即直线 x = - b 2a = 0,即对称轴为 y 轴,故 D 错. B 函数 y = - x2 + 1 的单调递增区间为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,0] B. [0, + ∞ ) C. (0, + ∞ ) D. ( - ∞ , + ∞ ) 由题意知,函数 y = - x2 + 1 的图象开口向下,对称轴为直线 x = 0, 所以函数 y = - x2 + 1 的单调递增区间为( - ∞ ,0] . A 73 已知函数 f(x) = x2 + bx + c,且 f(1) = 0,f(5) = 0,则 f( - 1) = (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 ∵ f(1) = 0,f(5) = 0, ∴ 二次函数 f(x) = x2 + bx + c 图象的对称轴方程为 x = - b 2 = 3,解得 b = - 6, ∴ f(x) = x2 - 6x + c. 又 f(1) = 0, ∴ 12 - 6 × 1 + c = 0,解得 c = 5, ∴ f(x) = x2