3.3 函数的奇偶性-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

3. 3　 函数的奇偶性 13 1.对称点的坐标特征 一般地,设点 P(a,b) 为平面内的任意一点,则 ① 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为(a, - b); ② 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为( - a,b); ③ 点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为( - a, - b) . 2.函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x, 都有 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x, 都有 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 　 　 (2) 奇函数、偶函数的图象特征 ① 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若一个函数的图 象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. ② 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关 于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. (3) 函数的奇偶性 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就说这个函数具有奇偶性. 3.常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 当 b = 0 时是奇函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时是偶函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 4.奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单 调性. ② 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关 于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 5.非奇非偶函数 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 23 题型一:判断函数的奇偶性 下列函数在其定义域内为奇函数的是 (　 　 ) A. y = ( 1 3 ) x B. y = x3 C. y = 1 2 x + 1 D. y =log3x 因为( 1 3 ) x ≠- ( 1 3 ) -x,x3 = -( - x) 3, 1 2 x + 1 ≠- [ 1 2 ( - x) + 1], 所以函数 y = ( 1 3 ) x,y = 1 2 x + 1 不是奇函数,函数 y = x3 是奇函数. 因为函数 y =log3x 的定义域为(0, + ∞ ),不关于原点对称, 所以函数 y =log3x 不是奇函数. B (多选) 下列函数是偶函数的是 (　 　 ) A. f(x) =| x | B. f(x) = 1 x C. f(x) = - x2 D. f(x) = - 3 x 函数 f(x) =| x | 是定义域 R 上的偶函数; 函数 f(x) = 1 x 在定义域( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上是奇函数; 函数 f(x) = - x2 在定义域 R 上是偶函数; 函数 f(x) = - 3 x 在定义域 R 上是奇函数. AC 题型二:函数奇偶性的应用 已知 f(x) = ax2 - bx + 1 是定义域为[a,a + 1] 的偶函数,则 a + ab = (　 　 ) A. 0 B. 3 4 C. - 1 2 D. 1 2 ∵ f(x) 在[a,a + 1] 上是偶函数, ∴ - a = a + 1,解得 a = - 1 2 , ∴ f(x) 的定义域为[ - 1 2 , 1 2 ],f(x) = - 1 2 x2 - bx + 1. ∵ f(x) 在[ - 1 2 , 1 2 ] 上是偶函数, ∴ f( - 1 2 ) = f( 1 2 ), 33 ∴ - 1 2 × ( - 1 2 ) 2 - b × ( - 1 2 ) + 1 = - 1 2 × ( 1 2 ) 2 - b × 1 2 + 1,解得 b = 0, ∴ a + ab = - 1 2 + ( - 1 2 ) 0 = 1 2 . D 已知偶函数 f(x) 满足对任意的 x1,x2 ∈ [0, + ∞ )(x1 ≠ x2),都有 f(x1) - f(x2) x1 - x2 > 0 成立,则满 足 f(2x - 1) < f( 1 3 ) 的 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( 1 3 , 2 3 ) B. [ 1 3 , 2 3 ) C. ( 1 2 , 2 3 ) D. [ 1 2 , 2 3 )