3.2 函数的单调性-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

3. 2　 函数的单调性 1.增函数、减函数 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I内某个区间D上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 , 当 x1 < x2 时, 都有 f(x1 ) < f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区 间 D 上是增函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左 到右是上升的 减函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I内某个区间D上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 , 当 x1 < x2 时, 都有 f(x1 ) > f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区 间 D 上是减函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左 到右是下降的 2.单调性、单调区间、单调函数 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有单调性,区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 如果函数在其整个定义域内具有单调性,那么就称此函数是单调函数. 3.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) a > 0 时,在 R 上单调递增; a < 0 时,在 R 上单调递减 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ); a < 0 时,单调递增区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,m],单调递增区间是[m, + ∞ ); a < 0 时,单调递减区间是[m, + ∞ ),单调递增区间是( - ∞ ,m] 82 题型一:判断函数的单调性 已知函数 y = f(x),x ∈ [ - 4,4] 的图象如图所示,则 f(x) 的单调递增区间是 (　 　 ) A. [ - 4,4] B. [ - 4, - 3] ∪ [1,4] C. [ - 3,1] D. [ - 3,4] 因为函数 f(x) 的图象在区间[ - 3,1] 上从左到右是上升的, 所以函数 f(x) 的单调递增区间是[ - 3,1] . C 函数 y = x2 + x + 2 的单调递减区间是 (　 　 ) A. - 1 2 , + ∞( ) B. ( - 1, + ∞ ) C. - ∞ , - 12( ) D. ( - ∞ , + ∞ ) 因为函数 y = x2 + x + 2 的图象是开口向上,且以直线 x = - 1 2 为对称轴的抛物线, 所以函数 y = x2 + x + 2 的单调递减区间是 - ∞ , - 1 2( ) . C 题型二:运用函数的单调性比较大小 (多选) 已知函数 f(x) = ex - e -x,a = f(20. 3),b = f(0. 30. 2),c = f(log0. 32),则 (　 　 ) A. c < b B. b < a C. b < c D. c < a 易知 f(x) = ex - e -x 在 R 上单调递增. 因为 20. 3 > 1 > 0. 30. 2 > 0 > log0. 32, 所以 f(20. 3) > f(0. 30. 2) > f(log0. 32),即 c < b < a. ABD 若 loga3 > loga5,a > 0 且 a ≠ 1,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (0, 1 2 ) B. (1, + ∞ ) C. (0,1) D. (2, + ∞ ) ∵ loga3 > loga5,a > 0 且 a ≠ 1, 92 ∴ 函数 y = logax,a > 0 且 a ≠ 1 在(0, + ∞ ) 上是减函数, ∴ 0 < a < 1,即 a 的取值范围是(0,1) . C 1. 若函数 y = (1 - k)x + b 在 R 上单调递增,则实数 k 的取值范围是 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1] C. (1, + ∞ ) D. ( - ∞ ,1) 2. 下列函数中,在(0, + ∞ ) 上单调递减的是 (　 　 ) A. f(x) = - x2 - 3x B. f(x) = 3 + x C. f(x) = - 1 x D. f(x) = x 3. 下列函数在区间(0,1) 上单调递增的是 (　 　 ) A. y = - x2 B. y = - x2 + 2x C. y = 1 2( ) x D. y = - x 4. 下列图象表示的函数中,在 R 上单调递增的是 (　 　 ) A. B. C. D. 5. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数,则下列关系正