1.2 集合间的基本关系-2023版贵州省中职院校升学考试数学复习教材

1. 2　 集合间的基本关系 5 1.子集、真子集与集合相等 子集 真子集 集合相等 概念 如果集合 B 中的元素都是集合 A 中的元 素,那么把集合 B 叫做集合 A 的子集 如果集合 B 是集合 A 的子集,并且 A 中 至少有一个元素不属于 B,那么把 B 叫 做 A 的真子集 如果两个集合的元素完全相同, 那么就说这两个集合相等 记法 B ⊆ A 或 A ⊇ B B ⫋ A 或 A ⫌ B A = B 读法 B 包含于 A(A 包含 B) B 真包含于 A(A 真包含 B) 集合 A 等于集合 B 图示 或 性质 (1) 任何一个集合是它本身的子集; (2) 对于集合A,B,C,如果C⊆B,且B⊆ A,那么 C ⊆ A (1) 对于集合 A,B,如果 B ⊆ A,且 A ≠ B,那么 B ⫋ A; (2) 对于集合 A,B,C,如果 C ⫋ B,且 B ⫋ A,那么 C ⫋ A (1)A ⊆ B 且 B ⊆ A; (2) 两个集合中的元素完全相同 2.空集 (1) 空集的性质 ① 空集是任何集合的子集. ② 空集是任何非空集合的真子集. ③ 空集只有一个子集,即它本身. (2)⌀,0,{0} 与{⌀} 之间的关系 ⌀ 与 0 ⌀ 与{0} ⌀ 与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是集合;0 是实数 ⌀ 不含任何元素;{0} 含一个 元素 0 ⌀ 不含任何元素;{⌀} 含一个元素,该元素是 ⌀ 关系 0 ∉ ⌀ ⌀ ⫋ {0} ⌀ ⫋ {⌀} 或 ⌀ ∈ {⌀} 题型一:集合间关系的判断 下列选项中的两个集合,表示同一集合的是 (　 　 ) A. A = {0,1},B = {(0,1)} B. A = {2,3},B = {3,2} C. A = {x | - 1 < x ≤ 1,x ∈ N},B = {1} D. A = ⌀,B = {x | x ≤ 0} 选项 A 中,集合 A = {0,1} 是数集,集合 B = {(0,1)} 是点集,二者不是同一集合; 选项 B 中,A = {2,3},B = {3,2},由集合中元素的无序性可知,二者是同一集合; 6 选项 C 中,A = {x | - 1 < x ≤ 1,x ∈ N} = {0,1},B = {1},二者不是同一集合; 选项 D 中,A = ⌀,B = {x | x ≤ 0} = {0},二者不是同一集合. B 下列各关系式表达正确的是 (　 　 ) A. 3 ∈ {0,1,2} B. 2 ⫋ {0,1,2} C. ⌀ ∈ {0,1,2} D. ⌀ ⫋ {0,1,2} 3 ∉ {0,1,2},故 A 不正确. 2 是元素,{0,1,2} 是集合,元素与集合的关系只能用符号“∈”“∉” 表示,故 B 不正确. ⌀ 是集合,{0,1,2} 是集合,集合与集合的关系不能用符号“∈”“∉” 表示,故 C 不正确. ⌀ 是任何非空集合的真子集,故 D 正确. D 下列关系式中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} = ⌀ C. ⌀ ∈ {0} D. ⌀ ⫋ {0} 0 是元素,⌀ 是不含任何元素的集合,{0} 是只含有一个元素 0 的集合,故 D 正确. D 题型二:确定集合的子集、真子集 已知集合 A = {0,x},B = {0,2,4},若 A ⊆ B,则实数 x 的值为 (　 　 ) A. 0 或 2 B. 0 或 4 C. 2 或 4 D. 0 或 2 或 4 ∵ A = {0,x},B = {0,2,4},A ⊆ B, ∴ x 的值为 2 或 4. C (多选) 下列关系式中正确的是 (　 　 ) A. ⌀ ∈ {{⌀}} B. ⌀ ⊆ {{⌀}} C. ⌀ ∈ {⌀} D. ⌀ ⫋ {⌀} ⌀ 不是{{⌀}} 的元素,故 A 不正确; ⌀ 是任何集合的子集,所以 ⌀ 是{{⌀}} 的子集,故 B 正确; ⌀ 是{⌀} 的元素,故 C 正确; ⌀ 是任何非空集合的真子集,{⌀} 有一个元素 ⌀,是非空集合,故 D 正确. BCD (多选) 已知集合 A = {2,3},B = {1,2,3,4,5},则满足 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 可以为 (　 　 ) A. {2,3} B. {3,4} C. {3,4,5} D. {2,3,4,5} 7 因为 A = {2,3},B = {1,2,3,4,5},A ⊆ C ⊆ B, 所以 C 中一定含有元素 2,3,可能含有元素 1,4,5, 所以集合 C 可以为{2,3}, {2,3,1}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,1,4}, {2,3,1,5}, {2,3,4,5}, {2,3,1, 4,5} . AD 1. 下列关系式中正确的是 (