3.4 二次函数的图象和性质-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

3. 4　 二次函数的图象和性质 1.二次函数的定义 一般地,如果 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y = ax2 的图象和性质 (1) 二次函数 y = ax2 的图象是顶点为坐标原点,对称轴为 y 轴的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 的图象与 a 的符号的关系如下: ①a > 0⇔ 抛物线开口向上 ⇔ 顶点为其最低点; ②a < 0⇔ 抛物线开口向下 ⇔ 顶点为其最高点. (3) 顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y = ax2(a ≠ 0) . 75 3.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (1) 图象 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象是对称轴平行于 y 轴(包括与 y 轴重合) 的抛物线. (2) 二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的顶点坐标、对称轴 ①y = ax2 + bx + c = a x + b 2a( ) 2 + 4ac - b 2 4a ,其图象的顶点坐标是( - b 2a ,4ac - b2 4a ),对称轴是 直线 x = - b 2a . ② 运用配方的方法,将二次函数的解析式化为 y = a(x - h) 2 + k 的形式,得到二次函数图 象的顶点坐标为(h,k),对称轴是直线 x = h. (3) 抛物线 y = ax2 + bx + c 中 a,b,c 的作用 ①a 决定抛物线的开口方向及开口大小. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b 2a ,故 b = 0 时,对称轴为 y轴; b a > 0(即 a,b同号) 时,对称轴在 y轴左侧; b a < 0(即 a,b异 号) 时,对称轴在 y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴交点的位置. 抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y 轴 有且只有一个交点(0,c),当 c = 0 时,抛物线经过原点;当 c > 0 时,抛物线与 y轴交于正半轴; 当 c < 0 时,抛物线与 y 轴交于负半轴. 4.几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h) 2 y = a(x - h) 2 + k y = ax2 + bx + c 当 a > 0 时,开口向上; 当 a < 0 时,开口向下 直线 x = 0(y 轴) (0,0) 直线 x = 0(y 轴) (0,k) 直线 x = h (h,0) 直线 x = h (h,k) 直线 x = - b 2a ( - b 2a ,4ac - b2 4a ) 5.用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般步骤:设二次函数的解析式 → 列出含参数的方程(组) → 解方程(组) → 还原写 出解析式. (2) 已知抛物线上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0); 已知抛物线的顶点或对称轴,通常选择顶点式 y = a(x - h) 2 + k(a ≠ 0); 85 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标 x1,x2,通常选用交点式 y = a(x - x1)(x - x2)(a ≠0). 6.二次函数图象与性质的应用 (1) 利用二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值及图象的平移 变化; (2) 利用二次函数的图象求解方程(组)、解析式和解决实际问题,体现数形结合思想. 题型一:二次函数的概念 若二次函数 y = x2 - 3x - 4 的定义域为[0,m],值域为[ - 25 4 , - 4],则 m的取值范 围是 (　 　 ) A. (0,4] B. [ 3 2 ,4] C. [ 3 2 ,3] D. [ 3 2 , + ∞ ) ∵ 二次函数 y = x2 - 3x - 4 图象的开口向上,对称轴是直线 x = 3 2 , ∴ ymin = 9 4 - 9 2 - 4 =- 25 4 . 令 x2 - 3x - 4 =- 4,解得 x1 = 0,x2 = 3, ∴ 3 2 ≤ m ≤ 3, 即实数 m 的取值范围为[ 3 2 ,3] . C 已知二次函数 f(x) 满足 f(x + 1) = f(1 - x),且 f(0) = 3,f(1) = 2. (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 设函数 g(x) = f(x) - 2(m - 1)x,m ∈ R,讨论 g(x) 在[ - 1,1] 上的最小值. (1) 设二次函数 f(x) = a