3.3 函数的奇偶性-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

3. 3　 函数的奇偶性 1.对称点的坐标特征 一般地,设点 P(a,b) 为平面内的任意一点,则 ① 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点的坐标为(a, - b); ② 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点的坐标为( - a,b); ③ 点 P(a,b) 关于原点 O 的对称点的坐标为( - a, - b) . 2.函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x∈ I,且 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x ∈ I,且 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇 函数 定义域特征 关于原点对称 　 　 (2) 奇函数、偶函数的图象特征 ① 奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;反之,若 一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. ② 偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个 函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. 05 (3) 函数的奇偶性 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就说这个函数具有奇偶性. 3.常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 当 b = 0 时是奇函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时是偶函数;当 b ≠ 0 时既不是奇函数也不是偶函数 4.奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有 相反的单调性. ② 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小) 值,取最值时的自变量互为相反 数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数. 5.非奇非偶函数 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 题型一:判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) =- 2x;　 (2) f(x) = 1 x + 1 ;　 (3) f(x) = x4 - 2x2;　 (4) f(x) = 3x2(x∈ [ - 2,2)) . (1) 函数 f(x) =- 2x 的定义域为 R,关于原点对称. 又 f( - x) =- 2( - x) = 2x =- f(x), ∴ f(x) =- 2x 为奇函数. (2)∵ f(x) = 1 x + 1 的定义域为{x | x ≠- 1},定义域不关于原点对称, ∴ f(x) = 1 x + 1 为非奇非偶函数. (3) f(x) = x4 - 2x2 的定义域为 R,关于原点对称. 又 f( - x) = ( - x) 4 - 2( - x) 2 = x4 - 2x2 = f(x), ∴ f(x) = x4 - 2x2 是偶函数. 15 (4)∵ 函数 f(x) = 3x2 的定义域为[ - 2,2),定义域不关于原点对称, ∴ f(x) = 3x2(x ∈ [ - 2,2)) 为非奇非偶函数. 设 f(x) = 2 2x - 1 + 1,证明 f(x) 是奇函数. ∵ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 有意义时,2x - 1 ≠ 0,即 x ≠ 0, ∴ 函数 f(x) = 2 2x - 1 + 1 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),关于原点对称. ∵ f( - x) + f(x) = 2 2-x - 1 + 1( ) + 22x - 1 + 1( ) = 2 1 2x - 1 + 2 2x - 1 + 2 = - 2·2x 2x - 1 + 2 2x - 1 + 2 = 2 - 2·2x 2x - 1 +2 = 2(1 - 2x) 2x - 1 + 2 = - 2 + 2 = 0, ∴ f( - x) =- f(x), ∴ f(x) 为奇函数. 题型二:函数奇偶性的应用 已知 f(x) = ax2 - bx + 1 是定义域为[a,a + 1] 的偶函数,则 a + ab = (　 　 ) A. 0 B. 3 4 C. - 1 2 D. 1 2 ∵ f(x) 在[a,a + 1] 上是偶函数, ∴ - a = a + 1,即 a =- 1 2 , ∴ f(x) 的定义域为[ - 1 2 , 1 2 ], ∴ f(x) =- 1 2 x2 - bx + 1. ∵ f(x) 在[ - 1 2 , 1 2 ] 上是偶函数, ∴