3.2 函数的单调性-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

3. 2　 函数的单调性 34 1.增函数、减函数 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是增 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左 到右是上升的 减函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对 于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1 ,x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),那么就说函数 f(x) 在区间 D上是减 函数 函数 f(x) 的图象在区间 D 上从左 到右是下降的 2.单调性、单调区间、单调函数 如果函数 y = f(x) 在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间具有 单调性,区间D叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 如果函数在其整个定义域内具有单调性,那么就 称此函数是单调函数. 3.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) a > 0 时,在 R 上单调递增; a < 0 时,在 R 上单调递减 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ); a < 0 时,单调递增区间是( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0) a > 0 时,单调递减区间是( - ∞ ,m],单调递增区间是[m, + ∞ ); a < 0 时,单调递减区间是[m, + ∞ ),单调递增区间是( - ∞ ,m] 题型一:判断函数的单调性 (1) 函数 y = 4x - 3 在 R 上是 函数(填“增” 或“减”) . (2) 函数 y =- x2 + 2x + 1 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . (3) 函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上是 函数(填“增” 或“减”) . 44 (4) 函数 y = log 1 4 x 在(0, + ∞ ) 上是 函数(填“增” 或“减”) . (5) 函数 y = 1 4( ) x 在 R 上是 函数(填“增” 或“减”) . (1) 如图 ① 所示,函数 y = 4x - 3 在 R 上是增函数. (2) 如图 ② 所示,函数 y =- x2 + 2x + 1 在[1, + ∞ ) 上单调递减,在( - ∞ ,1] 上单调递 增,故其单调递增区间是( - ∞ ,1],单调递减区间是[1, + ∞ ) . (3) 如图 ③ 所示,当 x > 0 时,函数 y = 1 x 随 x 的增大而减小,故函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. (4) 如图 ④ 所示,函数 y =log 1 4 x 在(0, + ∞ ) 上是减函数. (5) 如图 ⑤ 所示,函数 y = ( 1 4 ) x 在 R 上是减函数. 图 ① 　 　 　 图 ② 　 　 　 图 ③ 　 　 　 　 　 　 图 ④ 　 　 　 图 ⑤ (1) 增 　 (2)( - ∞ ,1]　 [1, + ∞ )　 (3) 减 　 (4) 减 　 (5) 减 讨论函数 f(x) = x + 2 x 在(2, + ∞ ) 上的单调性. 设 2 < x1 < x2 . 由 f(x1) = x1 + 2 x1 ,f(x2) = x2 + 2 x2 得 f(x1) - f(x2) = x1 + 2 x1( ) - x2 + 2 x2( ) = (x1 - x2) + 2 x1 - 2 x2( ) = (x1 - x2) + 2(x2 - x1) x1x2 = (x1 - x2) 1 - 2 x1x2( ) = (x1 - x2)(x1x2 - 2) x1x2 . ∵ 2 < x1 < x2, 54 ∴ x1 - x2 < 0,x1x2 > 2, ∴ (x1 - x2)(x1x2 - 2) x1x2 < 0,即 f(x1) < f(x2), ∴ f(x) = x + 2 x 在(2, + ∞ ) 上是增函数. 题型二:运用函数的单调性比较大小 已知函数 f(x) = ex - e -x,a = f(20. 3),b = f(0. 30. 2),c = f(log0. 32),则 a,b,c 的大小 关系为 (　 　 ) A. c < b < a B. b < a < c C. b < c < a D. c < a < b 易知 f(x) = ex - e -x 在 R 上单调递增. 又 20. 3 > 1 > 0. 30. 2 > 0 >