3.1 函数的概念及表示法-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

3. 1　 函数的概念及表示法 1.函数的概念 在某一个变化过程中有两个变量 x和 y,设变量 x的取值范围为数集D,如果对于D内的每 一个 x 值,按照某个对应法则 f,y 都有唯一确定的值与它对应,那么把 x 叫做自变量,把 y 叫做 x 的函数,记作 y = f(x),数集 D 叫做函数的定义域. 当 x = x0 时,函数 y = f(x) 对应的值 y0 叫做函数在点 x0 处的函数值,记作 y0 = f(x0) . 函数值的集合{y | y = f(x),x ∈ D} 叫做函数的值域. 2.函数的三要素 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. (1) 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围. 函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合. 在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约. 53 (2) 对应关系 对应关系 f 是函数的核心,是对自变量 x 实施“对应操作” 的“程序” 或“方法” . (3) 值域 函数值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也就 随之确定了. 3.函数相等 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即同一个函数. 4.函数的表示方法 (1) 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0),反比例函数 y = k x (k ≠ 0),二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 等都是利用解析法表示的函数. (2) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. (3) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法. 5.分段函数 (1) 分段函数的概念 有些函数在其定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数称为分段函数. 因此,分段函数的每一段都有一个解析式,这些解析式组成的整体才是该分 段函数的解析式. 如 f(x)= x2,x ≤ 0, - x2,x > 0{ 就是由两个解析式组成的. (2) 分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成. 在同一直角坐标系中,根据每段的定义区 间和表达式依次画出图象,组合到一起就得到整个分段函数的图象. 要注意每段图象的端点是 空心点还是实心点. 题型一:函数的概念 下列图象中,表示函数关系 y = f(x) 的是 (　 　 ) A. B. C. D. 63 根据函数的定义知,任意一个 x 有唯一的 y 对应,只有选项 D 的图象满足这一点. D 下列对应中是函数关系的是 (　 　 ) (1)x → y,其中 y = 2x + 1,x ∈ {1,2,3,4},y ∈ {x | x < 10,x ∈ N};(2)x → y,其中 y2 = x,x ∈ [0, + ∞ ),y ∈ R;(3)x → y,其中 y为不大于 x的最大整数,x ∈ R,y ∈ Z;(4)x → y,其 中 y = x - 1,x ∈ N∗,y ∈ N∗ . A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(3) D. (3)(4) (1)x → y,其中 y = 2x + 1,x ∈ {1,2,3,4},y ∈ {x | x < 10,x ∈ N},满足函数的 定义,(1) 正确; (2)x → y,其中 y2 = x,x ∈ [0, + ∞ ),y ∈ R,不满足一个自变量 x有唯一一个实数 y与之 对应,例如当 x = 1 时,y = ± 1,不满足函数的定义,(2) 不正确; (3)x → y,其中 y 为不大于 x 的最大整数,x ∈ R,y ∈ Z,满足函数的定义,(3) 正确; (4)x → y,其中 y = x - 1,x ∈ N∗,y ∈ N∗,当 x = 1 时,对应的 y = 1 - 1 = 0 ∉ N∗,(4) 不 正确. B 如图所示,下列对应法则中是函数关系的个数为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 ①　 　 　 　 　 　 ②　 　 　 　 　 　 ③　 　 　 　 　 ④　 　 　 　 　 　 ⑤　 　 　 　 　 ⑥ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ①②③ 这三个图所示的对应法则都符合函数的定义,即 A 中每一个元素在对应法 则下,在 B 中都有唯一的元素与之对应;对于 ④⑤,A 的一个元素在 B 中有 2 个元素与之对应, 所以不符合函数的定义;对于 ⑥,A中的元素 a3,a4 在 B中没有元素与之对应,所以不符合函数 的定义. 综上,满足函数关系的个数为 3. A 题型二:求函数的定义域 求下列函数的定义域: (1)y = lg(x - 2) + 4 x - 3 ;(2)y = x +