2.2 一元二次不等式-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠ 0. 3.一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0 时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 判别式 Δ的不同情况,二 次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1 ,x2 } {x0 } ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c ≥ 0 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c < 0 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤ 0 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 52 　 　 (2) 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: (ⅰ) 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; (ⅱ) 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; (ⅲ) 根据上表写出一元二次不等式的解集. 题型一:一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集: (1)(x + 4)( - x - 1) < 0; (2) - 3x2 + x > 2; (3)4x2 - 4x + 1 > 0; (4) - x2 + 5x + 6 ≥ 0. (1) 不等式(x + 4)( - x - 1) < 0可化为(x + 4)(x + 1) > 0,解得 x > - 1或 x < - 4, ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , - 4) ∪ ( - 1, + ∞ ) . (2) 不等式 - 3x2 + x > 2 可化为 3x2 - x + 2 < 0. ∵ Δ = 1 - 4 × 3 × 2 < 0, ∴ 原不等式的解集为 ⌀. (3) 不等式 4x2 - 4x + 1 > 0 可化为(2x - 1) 2 > 0,解得 x ≠ 1 2 , ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , + ∞ ) . (4) 不等式 - x2 + 5x + 6 ≥ 0 可化为 x2 - 5x - 6 ≤ 0,解得 - 1 ≤ x ≤ 6, ∴ 原不等式的解集为[ - 1,6] . 题型二:一元二次不等式的应用 设集合 A = {x - 1 < x < 2 022},B = {x 2x2 + 5x - 3 ≤ 0},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {x - 3 < x ≤ 2 022} B. {x - 3 < x ≤ 1 2 } C. {x - 1 < x ≤ 1 2 } D. {x x ≥- 1} 因为 B = {x 2x2 + 5x - 3 ≤ 0} = {x - 3 ≤ x ≤ 1 2 },且 A = {x - 1 < x < 2 022}, 所以 A ∩ B = {x - 1 < x ≤ 1 2 } . C 62 当 x 取何值时, 5x2 - 6x - 8 有意义? 由题意可知,要使 5x2 - 6x - 8 有意义,则需使 5x2 - 6x - 8 ≥ 0. 因为不等式 5x2 - 6x - 8 ≥ 0 的二次项系数大于 0,方程 5x2 - 6x - 8 = 0 的两个解为 x1 = 2,x2 =- 4 5 , 所以不等式 5x2 - 6x - 8 ≥ 0 的解集为{x | x ≥ 2 或 x ≤- 4 5 },即当 x ≥ 2 或 x ≤- 4 5 时, 5x2 - 6x - 8 有意义. 当 m 取何值时,方程 mx2 - (1 - m)x + m = 0(m ∈ R) 有实根? 当 m = 0 时, - x = 0,解得 x = 0. 当 m ≠ 0 时,由方程mx2 - (1 - m)x + m = 0 对应的判别式 Δ ≥ 0,得(1 - m)2 - 4m2 ≥ 0,解 得- 1 ≤ m ≤ 1 3 且m ≠ 0. 综上,满足要求的 m 的取值范围是 - 1, 1 3 é ë ê ê ù û ú ú . 1. 不等式(x + 2)(x - 3) < 0 的解集是 (　 　 ) A. {x | x