2.1 不等式的基本性质及一元一次不等式(组)-2023版广东省“3+专业技能课程证书”高职高考数学复习教材

2. 1　 不等式的基本性质及一元一次不等式(组) 1.实数大小的性质 (1) 数轴 数轴有三要素,即正方向、单位长度、原点;数轴上的点和实数可建立一一对应关系. (2) 不等式 用不等号( < , > , ≥, ≤, ≠) 连接的式子叫做不等式. 2.不等式的性质 (1) 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提示 对称性 a > b⇔b < a ⇔ 传递性 a > b,b > c⇒a > c ⇒ 可加性 a > b⇔a + c > b + c ⇔ 可乘性 a > b c > 0} ⇒ac > bc a > b c < 0} ⇒ac < bc 注意 c 的符号 91 续表 性质 性质内容 特别提示 同向可加性 a > b c > d} ⇒a + c > b + d ⇒ 同向同正可乘性 a > b > 0 c > d > 0} ⇒ac > bd ⇒ 可乘方性 a > b > 0⇒an > bn (n ∈ N,n ≥ 2) 可开方性 a > b > 0⇒ n a > n b (n ∈ N,n ≥ 2) a,b 同为正数 　 　 (2) 不等式的其他性质 ① 倒数性质 a > b,ab > 0⇒ 1 a < 1 b ; a < 0 < b⇒ 1 a < 1 b ; a > b > 0,0 < c < d⇒ a c > b d ; 0 < a < x < b 或 a < x < b < 0⇒ 1 b < 1 x < 1 a . ② 分数性质 若 a > b > 0,m > 0,则 b - m a - m < b a < b + m a + m (a - m > 0); a + m b + m < a b < a - m b - m (b - m > 0) . 3.区间 设 a,b 是实数,且 a < b. ① 满足 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的全体叫做闭区间,记作[a,b] . ② 满足 a < x < b 的实数 x 的全体叫做开区间,记作(a,b) . ③ 满足 a ≤ x < b或 a < x ≤ b的实数 x的全体都叫做半开半闭区间,分别记作[a,b),(a,b]. ④ 全体实数也可用区间表示为( - ∞ , + ∞ ),符号“ + ∞ ” 读作“正无穷大”,“ - ∞ ” 读作 “负无穷大” . ⑤ 满足 x ≥ a 的全体实数,记作[a, + ∞ ) . ⑥ 满足 x > a 的全体实数,记作(a, + ∞ ) . ⑦ 满足 x ≤ a 的全体实数,记作( - ∞ ,a] . ⑧ 满足 x < a 的全体实数,记作( - ∞ ,a) . 02 4.一元一次不等式(组) 的解法 (1) 不等式的解集和解不等式 在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数所取的所有值的集合叫做该不等式 的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式. (2) 一元一次不等式及其解法 任何一元一次不等式最后都可写为 ax > b 的形式,其中 a,b ∈ R. ① 当 a > 0 时,x > b a ,解集为 x | x > b a{ } . ② 当 a < 0 时,x < b a ,解集为 x | x < b a{ } . ③ 当 a = 0 时,若 b < 0,则不等式的解集为 R;若 b ≥ 0,则不等式的解集为 ⌀. (3) 一元一次不等式组及其解法 ① 一元一次不等式组,形如: x > a, x > b{ 或 x > a, x < b{ (a < b) 或 x < a, x < b{ 或 x < a, x > b{ (a < b) . ② 一元一次不等式组的解法 图象法:在数轴上取两个一元一次不等式解集的交集. 口诀法:依据口诀“同大取大,同小取小,大小、小大中间找,大大、小小是空集” 直接得不 等式组的解集. 题型一:不等式性质的应用 如果实数 a,b 满足 a < b < 0,则下列不等式中不成立的是 (　 　 ) A. | a | > | b | B. 1 a - b > 1 a C. 1 b < 1 a D. b2 - a2 < 0 ∵ a < b < 0, ∴ | a | > | b | , a ab < b ab , ∴ 1 b < 1 a ,a2 - b2 > 0,选项 A,C,D 正确. ∵ 0 > a - b > a, ∴ a - b a(a - b) > a a(a - b) , 12 ∴ 1 a - b < 1 a , ∴ 选项 B 不正确. B 已知 a,b,c ∈ R,则“ac2 > bc2” 是“a > b” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ∵ ac2 > bc2, ∴ c2 > 0, ∴ a > b. 当 a > b,c2 =